Задача, Неравенство

[Saposto_MM]

Да се докаже, че за положителни числа [tex]x_{1},x_{2},...,x_{n}[/tex] е вярно [tex]\sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i}^{3}}{x_{i}+x_{i+1}}\ge \sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i}^{2}}{2}[/tex], където под [tex]x_{n+1}[/tex] се има предвид [tex]x_{1}[/tex].

[Реклама]

[Pinetop Smith]

[tex]\sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i}^{3}}{x_{i}+x_{i+1}} = \sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i}^{4}}{x_{i}(x_{i}+x_{i+1})} \ge \frac{[\sum_{i=1}^{n}x_{1}^2]^2}{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^2 + \sum_{i=1}^{n}x_{i}x_{i+1}}[/tex]

[tex]\frac{[\sum_{i=1}^{n}x_{1}^2]^2}{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^2 + \sum_{i=1}^{n}x_{i}x_{i+1}} \ge \frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^2}{2} \Leftrightarrow \sum_{i=1}^{n}x_{i}^2 \ge \sum_{i=1}^{n}x_{i}x_{i+1} \Leftrightarrow \sum_{i=1}^{n}(x_{i} - x_{i+1})^2 \ge 0[/tex]

ПП: Как е знакът за "еквивалентно", че не го намирам долу

[r2d2]

[tex]\Leftrightarrow[/tex]

[Pinetop Smith]

Благодаря

[Saposto_MM]

Предизвиквам Ви да докажете неравенстото със знания до 7-ми клас ненадхвърлящи учебния материал.