Малко паказателни уравнения

[Spider Iovkov]

Решете уравненията:
а) [tex](\sqrt{5+\sqrt{24}})^x+(\sqrt{5-\sqrt{24}})^x=10[/tex];
б) [tex]\sqrt[3]{4x^2+10x+4}+\sqrt[3]{2x^2-5x-3}=\sqrt[3]{2x+1}[/tex];
в) [tex]\sqrt[3]{a+x}-\sqrt[3]{a-x}=\sqrt[6]{a^2-x^2}[/tex].

[Реклама]

[ганка симеонова]

[tex]\sqrt{5+\sqrt{24} } =\frac{1}{ \sqrt{5-\sqrt{24} } } [/tex]
=> полагаме [tex] (\sqrt{5+\sqrt{24} } )^x=t=>t+\frac{1}{t}=10=>t^2-10t+1=0 [/tex]
[tex]t_1=5+\sqrt{24}=(\sqrt{5+\sqrt{24} } )^x =>x_1=2 [/tex]
[tex]t_2=5-\sqrt{24} = (\sqrt{5+\sqrt{24} } )^x =>x_2=-2 [/tex]

[ганка симеонова]

2) [tex]\sqrt[3]{2(x+2)(2x+1)} +\sqrt[3]{(x-3)(2x+1)} =\sqrt[3]{2x+1} [/tex]
очевидно [tex]x=-\frac{1}{2 } [/tex] е решение. тогава делим на дясната страна и получаваме:
[tex]\sqrt[3]{2x+4} +\sqrt[3]{x-3}=1 [/tex]
полагаме [tex]\sqrt[3]{2x+4}=u; \sqrt[3]{x-3}=v=>2x+4=u^3; x-3=v^3=>u^3-2v^3=10 [/tex]
решаваме системата:[tex]u+v=1; u^3-2v^3=10 =>u=1-v=>v^3-v^2+v+3=0 [/tex]
[tex]v_1=-1=>x-3=-1=>x=2 [/tex]
окончателно [tex]x_1=-\frac{1}{ 2} ; x_2=2 [/tex]

[Spider Iovkov]

След повдигане на трета степен достигаме до [tex]a+x-(a-x)-3\sqrt[3]{a^2-x^2}(\sqrt[3]{a+x}-\sqrt[3]{a-x})=\sqrt[3]{a^2-x^2}[/tex]
[tex]\Rightarrow 2x-3\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2-x^2} \Rightarrow x=\frac{2}{\sqrt{5}}|a|[/tex].