Два интеграла

[ins-]

Да се пресметне:
1. [tex]I_1=\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+sinx}{1+cosx}e^{x} dx[/tex]

2. [tex]I_2=\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}ln(1+sqrt{3} tgx) dx[/tex]

[Реклама]

[ганка симеонова]

я, да се пробвам с първия. първо ще преобразувам подинтегралната ф-я и после ще го реша като неопределен..
[tex]\frac{1+sinx}{1+cosx }e^x=\frac{(sin{\frac{x}{ 2}}+cos{\frac{x}{2 }})^2 }{ 2cos^2\frac{x}{2 } }e^x=\frac{1}{ 2} (tg{\frac{x}{2 }}+1)^2.e^x= [/tex]
[tex]=\frac{1}{2 }tg^2{\frac{x}{2}e^x+ tg{\frac{x}{ 2} } }e^x +\frac{1}{2 }e^x [/tex]
тогава първоначалният интеграл ще е сума от интегралите на трите функции=>
[tex]I=\int_{}^{ }\frac{1}{2 }tg^2{\frac{x}{2}e^xdx+\int_{}^{ } tg{\frac{x}{ 2} } }e^x dx+\int_{}^{ } \frac{1}{2 }e^xdx [/tex]
ще се заемем с втория интерал:
[tex]tg{\frac{x}{ 2} } e^x dx=\int_{}^{ }tg{\frac{x}{ 2} } de^x=e^x tg{\frac{x}{ 2} } -\int_{}^{ } e^xdtg{\frac{x}{ 2} }=e^x tg{\frac{x}{ 2} }-\frac{1}{2 }\int_{}^{ } \frac{e^x}{cos^2{\frac{x}{2} } }dx= [/tex]
[tex]=e^x tg{\frac{x}{ 2} }-\frac{1}{2 }\int_{}^{ } e^x(1+tg^2{\frac{x}{2} })dx= e^x tg{\frac{x}{ 2} }-\int_{}^{ }\frac{1}{2 }tg^2{\frac{x}{2}e^xdx- \int_{}^{ } \frac{1}{2 }e^xdx [/tex]
=>[tex]I=\int_{}^{ }\frac{1}{2 }tg^2{\frac{x}{2}e^xdx+e^x tg{\frac{x}{ 2} }-\int_{}^{ }\frac{1}{2 }tg^2{\frac{x}{2}e^xdx- \int_{}^{ } \frac{1}{2 }e^xdx +\int_{}^{ } \frac{1}{2 }e^xdx = e^x tg{\frac{x}{ 2} }[/tex]
смятайки вече в горна и долна граница, получаваме [tex]I=e^{\frac{\pi }{ 2}}+e^{-\frac{\pi }{2} } [/tex]

[ins-]

Може и да греша, но си мисля, че в първата сума липсва едно [tex]e^{x}[/tex].

[ганка симеонова]

оправих я
изпуснала съм това е на хикста технически, при писането. не се отразява на решението. така или иначе се унищожават

[ins-]

да, така е. Тези интеграли не са трудни, но ми харесаха и затова ги пуснах.

[ганка симеонова]

честно казано, за втория нямам идея, но ще го помисля

[ганка симеонова]

Вторият е [tex]\frac{\pi }{ 3}ln2 [/tex] . Рших го, с подсказка
По повод интегралите, един мой любим виц:
На лекция по математика в УНСС професорът рисува знака за интеграл на дъската и казва:
- Това е интеграл. В МЕИ-то даже и го решават.
La viva, la FMI..

[ins-]

Внимавай, Ганке, учил съм анализ в УНСС

[ганка симеонова]

Двама математици си пият в един бар и спорят. Според единия, повечето хора нямат дори основни понятия от математика, а вторият не е съгласен. По едно време първият отива до тоалетната. Тогава вторият се наговаря със сервитьорката - блондинка тя да отговори „Една трета Хикс на трета“. Когато първият се връща и си продължават спора, вторият му предлага облог, че сервитьорката ще може да отговори. Първият, развеселен, се съгласява. Вторият вика блондинката и я пита:
- Колко е Интеграл от Хикс на квадрат?
- Една трета Хикс на трета... плюс Константа!

[ins-]

това е в сферата на фантастиката.