Отново четириъгълник

[Spider Iovkov]

Докажете, че за произволен четириъгълник [tex]ABCD[/tex] с ъгъл [tex]\phi[/tex] между диагоналите е в сила неравенството

[tex]S_{ABCD}\le \frac{1}{2}(AB.CD+BC.AD)sin\phi[/tex],

а равенство е налице точно тогава, когато около четириъгълника може да се опише окръжност.

[Реклама]

[ганка симеонова]

ще докажем, че ако един четиръгълник е със страни [tex]a, b, c, d, [/tex] и диагонали ш[tex]m, n =>ac+bd\ge mn [/tex], като равенство се изпълнява, само когато е вписан.
построяваме през т. А права, АP така че [tex]\angle DAP=\angle CBD [/tex], а през т. D, права DP,така че [tex]\angle ADP=\angle BDC =>\Delta APD\approx \Delta BCD=>[/tex]
[tex]\frac{a}{ n}=\frac{AP}{ c}=\frac{DP}{d } [/tex]. от първото и третото отношения и [tex]\angle ADB=\angle PDC=>\Delta ADB\approx \Delta PDC=>[/tex]
[tex]\frac{b}{CP }=\frac{n}{d } =>ac+bd=n.AP+n.CP=n(AP+CP)\ge n.AC=n.m [/tex]
Равенство се изпълнява, точно когато т. Р лежи на АС. Това може да се получи, само ако четириъгълникът е вписан, защото тогава е налице теоремета на Птоломей .
=>[tex]S=\frac{1}{2 }m.n.sin\varphi \le \frac{1}{2 }(AD.BC+AB.CD)sin\varphi [/tex]