Вписан четириъгълник

[Spider Iovkov]

Ако [tex]a, b, c, d[/tex] са положителни числа и [tex]a+c=b+d[/tex], има единствен четириъгълник [tex]ABCD[/tex] с [tex]AB=a, BC=b, CD=c, AD=d[/tex], около който може да се опише окръжност. Докажете, че за него

[tex]S=\sqrt{abcd}[/tex].

[Реклама]

[ганка симеонова]

означаваме:
[tex]AB=a; AD=c; CD=b; CB=d; cos\angle A=-cos\alpha =>cos\angle C=cos\alpha [/tex]
прилагаме косинусови теореми за ADB; BCD=>
[tex]DB^2=a^2+c^2+2accos\alpha ; DB^2=b^2+d^2-2bdcos\alpha [/tex]
изваждаме почленно и изразяваме косинуса, като ползваме, че [tex]a+b=c+d [/tex]
[tex]cos\alpha =\frac{ac-bd}{ac+bd }=>sin\alpha =\sqrt{1-cos^2\alpha }=\frac{2\sqrt{abcd} }{ac+bd } [/tex]
[tex]S=S_{ABD}+S_{BDC}=\frac{1}{2 } (ac+bd)sin\alpha =\sqrt{abcd} [/tex]

[Spider Iovkov]

Отново по желание на леля Ганка, .
Нека за начало означим [tex]\angle ABC=\phi[/tex]. Тъй като около четириъгълника може да се опише окръжност, то тогава [tex]\angle ADC=180^\circ-\phi[/tex]. Да приложим за [tex]\triangle ABC[/tex] косинусовата теорема:
[tex]AC^2=AB^2+BC^2-2.AB.BC.cos\phi (1)[/tex].
Да направим същото и за [tex]\triangle ACD[/tex]:
[tex]AC^2=AD^2+CD^2+2.AD.CD.cos\phi (2)[/tex].
След приравняване на десните страни на [tex](1)[/tex] и [tex](2)[/tex] получаваме:
[tex]a^2+b^2-2abcos\phi=c^2+d^2+2cdcos\phi \Leftrightarrow (2cd+2ab)cos\phi=a^2+b^2-c^2-d^2 \Rightarrow cos\phi=\frac{a^2+b^2-(c^2+d^2)}{2(ab+cd)}[/tex].
От друга страна, знаем, че лицето на проиволен триъгълник се изчислява по формулата [tex]\frac{absin\gamma}{2}[/tex]. По тази аналогия определяме, че [tex]S_{ABC}=\frac{absin\phi}{2}, S_{ACD}=\frac{cdsin\phi}{2}[/tex].
[tex]S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{ACD} \Rightarrow S_{ABCD}=\frac{sin\phi}{2}(ab+cd)[/tex].
От основното тригонометрично тъждество определяме [tex]sin\phi[/tex]: [tex]sin\phi=\sqrt{1-cos^2\phi}=\frac{\sqrt{[2(ab+cd)]^2-[a^2+b^2-(c^2+d^2)]^2}}{2(ab+cd)}[/tex].
[tex]\Rightarrow S_{ABCD}=\frac{\sqrt{(2ab+2cd+a^2+b^2-c^2-d^2)(2ab+2cd-a^2-b^2+c^2+d^2}}{4}=\frac{\sqrt{[a^2+2ab+b^2-(c^2-2cd+d^2)][(c^2+2cd+d^2)-(a^2-2ab+b^2]}}{4}=\frac{\sqrt{[(a+b)^2-(c-d)^2][(c+d)^2-(a-b)^2]}}{4}=\frac{\sqrt{(a+b+c-d)(a+b-c+d)(c+d+a-b)(c+d-a+b)}}{4}[/tex].
Като отчетем, че [tex]a+c=b+d[/tex] и заместим в гореполученото, достигаме до:
[tex]\frac{\sqrt{(b-d+b+d)(a-c+a+c)(d-b+b+d)(c-a+a+c)}}{4}=\frac{\sqrt{2a.2b.2c.2d}}{4}=\frac{4\sqrt{abcd}}{4}[/tex]
[tex]\Rightarrow S=\sqrt{abcd}[/tex].