Тангента към Архимедова спирала.

[akivanov]

Задачата я решавам напълно практически с помощта на всяка CAD програма.
Трябва ми обаче да я реша и аналитично.
Уравнението на спиралата в полярни координати е :

[tex]r=a\varphi[/tex]

Където :
[tex]r[/tex] е радиус векторът на точката;
[tex]\varphi[/tex] - полярен ъгъл;
[tex]a[/tex] - коефициент на архимедовата спирала.

Първа производна на уравнението в дадена точка трябва да даде ъгловия коефициент на тангентата, т.е. тангенс от някакъв ъгъл.

Номерът е, че знанията ми достигат до тук.
Пробвах да намеря производната на функцията, но тези полярни координати в коите е зададена архимедовата спирала нещо ме притесниха.

Аз направих няколко опита но май са безузпешни
Получавам това:

......a*sin(fi)+r*cos(fi)
y'=----------------------
......a*cos(fi)-r*sin(fi)

Моля бихте ли ми извели производната за да съм сигурен в моите си резултати ?

[Реклама]

[Infernum]

Така е.
Верна ти е производната.
Само че така пресметната, тя е в декартови координати.
Ако F(x, y)=0 ти е уравнението на спиралата в декартови координати, то направляващ вектор за тангентата ти е вектора
N=(F_y , -F_x) (нормаления вектор на градиентния вектор)
Тогава каноничното уравнение на тангентата, в произволна точка с полярни координати (r, t) е:
(x-r*cos t)/F_y=(y-r*sin t)/(-F_x)
където:
F_y=(r*sin t - a*cos t)/r
F_x=(r*cos t + a*sin t)/r

[Infernum]

Сега. Ще бъде полезен и предния ми пост.
Ще изведа уравнението на права в полярни координати.
Нека в декатрова координатна система [tex]Oxy[/tex]

[tex]\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}[/tex]

ти е каноничното уравнение на права , минаваща през точка с координати (x₀, y₀) и направляващ вектор (a, b).
Kато се преработи това уравнение се получава:

[tex]bx-ay+ay_0-bx_0=0[/tex].

Cлед смяната

[tex]x=rcos t[/tex]
[tex]y=rsin t[/tex]

[tex]0<r[/tex] , [tex]0\le t <2\pi[/tex],

имайки предвид, че

[tex]x_0=r_0cos t_0[/tex]
[tex]y_0=r_0sin t_0[/tex],

решaвайки това уравнение относно r, получаваш търсеното уравнение на правата в полярни координати:

(*) [tex]r=r_0\frac{bcos t_0- a sin t_0}{bcos t - a sin t}[/tex]

Сега, за уравнението на тангентата към архимедовата спирала, имайки предвид, че направляващият и вектор е перпендикулярен на вектора градиент и равенствата:

F_y(r₀, t₀)=(r₀*sin t₀ - a*cos t₀)/r₀

F_x(r₀, t₀)=(r₀*cos t₀ + a*sin t₀)/r₀,

за произволна точка от спиралата, с полярни кооординати (r₀, t₀), след заместване на изразите от последните две равенства в (*)
(заменяш а и b съответно с изразите F_y(r₀, t₀) и -F_x(r₀, t₀), и опростяване, се получава:

[tex]r=\frac{r_0^2}{(r_0 cos t_0+a sin t_0)cos t + (r_0 sin t_0-a cos t_0)sin t }[/tex].

Добре ще е да си направиш тия разглеждания и пресмятания сам, защото не е изключено да съм допуснал грешка. Също може да видиш какво се случва, когато r и t клонят към нула, т. е. дали спиралата има тангента в началото на координатната система или не, пък после да обсъдим.

[akivanov]

Infernum, много ти благодаря за помощта.
Тази сутрин направо ме върна в студенските години и ме накара да се заровя по дълбоко в старите книги по математика. Честно да си прзиная, мислех си, че задачата ще бъде по-проста, но явно не е така. След няклко часово четене, смятане, извеждане и много много грешки, успях да си обясня онова което си написал така подробно (благодаря ти за което)...
След малко ще хвана Ексел-а и ще видя как изглеждат нещата в графичен вид.

Преди това обаче имам едно притеснение:

[akivanov]

Ето какво се получи.


Спиралата и 2 тангенти, едната определена по зависимостта от този пост:

[Infernum]

Имай предвид, че спиралата има два клона, единия се описва за [tex]\varphi >0[/tex], а другия за [tex]\varphi <0[/tex]. Така че, ако си начертал левия клон на спиралата, а тангентата в точка от десния, чертежа пак ще изглежда, сякаш е допусната грешка. Затова трябва тангентата да се чертае в точка от начертан клон на спиралата.
Ако има още нещо, казвай да обсъждаме.