Сбор на точни квадрати

[Пафнутий]

Да се докаже, че всяко число от вида [tex]\prod_{i=1}^{n}(a_{i}^2+b_{i}^2)[/tex] може да се представи като сбор от 2 точни квадрата.

ПП Бях срещнал подобна задача и се опитах да и направя обобщение

[Реклама]

[JusTok]

То е очевидно че ако докажем че е вярно за n=2 тогава е вярно и за всички стойности на n, обаче при n=2 и a₁=1,b₁=2,a₂=3,b₂=4, се поучава 125 което не може да се представи като сбор от 2 квадрата

[Nona]

[Пафнутий]

[JusTok]

Еми някой път пиша големи глупости

[Пафнутий]

Задачата не е много трудна Опитайте се да я решите Логиката на JusTok е донякъде вярна

[Saposto_MM]

Както каза JusTok, достатъчно е да докажем за n=2. За удобство правя заменките a₁->a, b₁->b, a₂->c, b₂->d. Така трябва да докажем, че (a²+b²)(c²+d²) може да се представи като сбор на два квадрата. Това представяне може да е (ac+bd)²+(ad-bc)² или (ac-bd)²+(ad+bc)².
Интересно дали за всеки 4 числа a,b,c и d (a²+b²)(c²+d²) се представя като сбор на два квадрата единствено по горенаписаните два начина.

[Пафнутий]

Значи аз я решавам така
Ще използваме пълната математическа индукция
При [tex]n=1[/tex], очевидно е вярно
Допускаме за [tex]n=k-1[/tex], че е вярно, т.е [tex]\prod_{i=1}^{k-1}(a_{i}^2+b_{i}^2)=p^2+q^2[/tex]
Ще докажем, че е вярно и за [tex]n=k[/tex].
Имаме [tex]\prod_{i=1}^{k}({a_{i}^2+b_{i}^2})=\prod_{i=1}^{k-1}(a_{i}^2+b_{i}^2).(a_{k}^2+b_{k}^2)=(p^2+q^2)(a_{k}^2+b_{k}^2)[/tex]
[tex]=(p.a_{k})^2+2.p.q.a_{k}.b_{k}+(q.b_{k})^2+(q.a_{k})^2-2.p.q.a_{k}.b_{k}+(p.b_{k})^2=(p.a_{k}+q.b_{k})^2+(q.a_{k}-p.b_{k})^2[/tex], с което индукционната стъпка е завършена и твърдението е доказано

[Saposto_MM]

Ами като гледам, решението ти в общи линии е същото. Според мен може да се мине и без индукция. Като знаем, че (a₁²+b₁²)(a₂²+b₂²)=p²+q²(*),
за n=3 имаме (p²+q²)(a₃²+b₃²), което съгласно (*) може да се представи като сбор на два квадрата, за n=4 по същия начин и така за всяко n. Ключът е [tex](a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac\pm bd)^{2}+(ad\mp bc)^{2}[/tex]
Помислете върху въпроса ми:

[soldier_vl]

[JusTok]

Ех разбрах де ;] Да не изръся и аз някоя глупост