Още едно уравнение с параметър

[estoyanovvd]

Намерете най-голямата стойност на параметъра [tex]a[/tex], за която уравнението

има поне едно решение.

[Реклама]

[nikolavp]

Имам няколко идеи и понеже не се сещам ще го напиша, та някой ако иска да довършва...
Полагаме [tex]x^2-2x+1=t \in (0;+\infty) \\ D.S. a \ge 0[/tex]
[tex]a\sqrt{a}t+\frac{\sqrt{a}}{t}\le \sqrt{a}\sqrt[4]{a}|\sin\frac{\pi}{2}x| [/tex]
Ще отбележим, че a=0 е решение, но тъй като е най - малката стойност от D.S. едва ли е решение, ще разделим на [tex]\sqrt{a}[/tex]
[tex]at^2+1\le \sqrt[4]{a}t|\sin\frac{\pi}{2}x| \\ \frac{at^2+1}{\sqrt[4]{a}t}\le |\sin\frac{\pi}{2}x|[/tex]
Сега получавам функцията:
[tex] f(a)=\frac{at^2+1}{\sqrt[4]{a}t}\in [0;1][/tex]като [tex]a\in (0;+\infty);t\in(0;+\infty)[/tex], но нещо не мога да довърша

[Tony_89]

[tex]at^{2} - \sqrt[4]{a}|sin(\frac{\pi}{2}x)|t + 1 \le 0[/tex]

Тъй като изключихме a = 0, остава а > 0, т.е, за да има горното решение, трябва:

[tex]D \ge 0[/tex]

[tex]\sqrt{a}(sin^{2}(\frac{\pi}{2}x) - 4\sqrt{a}) \ge 0[/tex]

[tex]4\sqrt{a} \le sin^{2}(\frac{\pi}{2}x)[/tex]

[tex]\sqrt{a} \le \frac{sin^{2}(\frac{\pi}{2}x)}{4}[/tex]

[tex]\frac{sin^{2}(\frac{\pi}{2}x)}{4} \in [0 ; \frac{1}{4}] =>[/tex]

=> Възможно най-голямата стойност, която може да приеме a е [tex]\frac{1}{16}[/tex], когато [tex]sin^{2}(\frac{\pi}{2}x) = 1[/tex]

Да проверим дали тази стойност е решение.

[tex]\frac{t^{2}}{16} - \frac{t}{2} + 1 \le 0[/tex]

[tex](t - 4)^{2} \le 0[/tex]

[tex]t = 4[/tex]

[tex]x - 1 = \pm 2[/tex]

x = 3 или x = -1

За тези стойности [tex]sin^{2}(\frac{\pi}{2}x) = 1[/tex] => за [tex]a = \frac{1}{16}[/tex] неравенството има решения.

[nikolavp]

Абе уж и аз така тръгнах, но после се усетих, че t зависи от x и е доста некоректно