Задача 4 изпит ТУ 2007г.

[complex]

Бихте ли ми помогнали да разбера решението на задачата:
Да се намерят стойностите на реалния параметър p, за които функцията
[tex]f(x)=16(p+1)sinx - sin2x - 2(8p^2 + 16p -5)x[/tex] е намаляваща в интервала (-∞,∞)

Решение:
Намираме първата производна - [tex]f'(x)=16(p+1)cosx - 2cos2x - 2(8p^2 + 16p - 5)[/tex] Полагаме cosx=t, .
Получаваме
[tex]f'(x)= 4g(t)[/tex] като [tex]g(t)=-t^2 + 4(p+1)t - 4p^2 - 8p + 3[/tex]
Търсим стойностите на реалния параметър р, за който g(t)≤0 за всяко [tex]t\in [-1;1][/tex]. Стойностите на квадратната функция g(t) са неположителни за [tex]t\in [-1;1][/tex] точно тогава, когато най-голямата и стойност g_нгс е неположителна. Върхут на параболата y=g(t) има абциса t₀=2(p+1). Следователно параболата y=g(t) има абциса t₀=2(p+1).
До тук всичко разбирам, но нататък следните редове не мога да ги разбера:
Следователно
[tex] g_{ngs}=\left{\begin{array}{ll}g(-1)\le 0 , 2(p+1)\le -1 \\ g(1)\le 0 , 2(p+1)\ge -1 \\ g(2p+2)\le 0, -1<2(p+1)<1 \end{array} \right [/tex]

Някой може ли на по-човешки език да обясни, защо при g(-1) върхът на функцията трябва да е по-малък или равен на 0 и при g(1), t₀ трябва да е ≥0 и третият случай. Това показва, че там има локални екстремиуми ли?

[Реклама]

[nikolavp]

За да бъда функцията намаляваща в двете безкрайности(ма как звучи), трябва производната да е отрицателна за всяко t от интервала и да няма коренив него (екстремуми за горната). Вече имаш разпределение на корени и става стандартна общо взето. Мисля, че съм я решавал и имаше доста сметки

[complex]

Нещо не те разбрах много за какво ми говориш. Това, че g(t)≤0 за всяко [tex]t\in [-1;1][/tex] го разбирам (затото f(x) трябва да е намаляваща), не разбирам защо в първия случай t₀≤-1, във втория t₀≥1 и в третия -1<t₀>1.

[nikolavp]