задача за взаимното разположение на корените ...

[ганка симеонова]

Това е задача, за взаимното разположение на корените на две квадратни уравнения..

Дадени са уравненията [tex]f(x)=x^2-2kx+4=0[/tex] и [tex]g(y)=y^2-2(k-1)y+4=0 [/tex]
Ако [tex] x_1; x_2 [/tex] са корените на уравнението [tex]f(x)=0[/tex], а [tex]y_1; y_2 [/tex]. корените на [tex]g(y)=0 [/tex],
за кои стойности на параметъра к е изпълнено неравенството [tex] x_1<y_1<y_2<x_2 [/tex]

[Реклама]

[PhilipMath]

Тъпа идея ,но все пак->от ур. спрямо x ,намираме корените x1,2= 1± √k²-4
Искаме f(x1)<0 и f(x2)<0 Заместваме във второто ур.По този начин получаваме с-ма от 2 ир.неравенства.

[ганка симеонова]

опитай се, да ги избегнеш...работи с формулите на Виет

[PhilipMath]

1-√k²-4 < k - 1 + √k² -2k - 3 < 1 + √k² - 4

[nikolavp]

Ясно е, че имам разпределение на корени като искаме корените на [tex]g(y)[/tex] да са между числата [tex]x_{1} ,x_{2}[/tex]
[tex]\left. \begin{tabular}{|l} g(x_{1})>0 \\ g(x_{2})>0 \\ D>0 \\ -\frac{b}{2a}>x_{1} \\ -\frac{b}{2a}<x_{2} \end{tabular}\right } \Rightarrow \left. \begin{tabular}{|l} x_{1}^2-2(k-1)x_{1}+4 > 0 \\ x_{2}^2-2(k-1)x_{2}+4 > 0 \\ (k-1)^2-4 \ge 0 \\ k-1>x_{1} \\ k-1<x_{2} \end{tabular} \right}[/tex]
Сега ще ползваме, че [tex]x_{1}^2=2kx_{1}-4;x_{2}=2kx_{2}-4[/tex] за да свалим степента на първите две неравенства
[tex]\left. \begin{tabular}{|l} 2kx_{1}-4-2kx_{1}+2x_{1}+4>0 \\ 2kx_{2}-4-2kx_{2}+2x_{2}+4>0 \\ k^2-2k-3>0 \\ k-1>x_{1} \\ k-1<x_{2} \end{tabular}\right} \Rightarrow \begin{tabular}{|l} x_{1}>0 \\ x_{2}>0 \\ k\in (-\infty;-1)\cup (3;+\infty) \\ k-1>x_{1} \\ k-1<x_{2} \end{tabular}[/tex]
Сега мисля, да изразя [tex]x_{1};x_{2}[/tex] от f(x) и да решавам много ирационални неравенства. Някой да има друга по - добра идея, защото не ми се пише

[ганка симеонова]

на чертежа сивата ф-я е f(x), а червената- g(y)
Дискриминантите и на двете уравнения трябва да са по- големи от 0=>[tex]k\in (-\infty ;-2)\cup (3:+\infty )[/tex]
за да са налице неравенствата, трябва: [tex]f(y_1)<0; f(y_2)<0 [/tex]
[tex]f(y_1)=f(y_1)-g(y_1)=y_1^2-2ky_1+4-(y_1^2-2(k-1)y_1+4)=-2y_1 [/tex]
аналогично [tex]f(y_2)=-2y_2=>y_1>0; y_2>0 [/tex]
от формулите на виет=>[tex]y_1+y_2=2(k-1)>0; y_1y_2=4>0=>k>1=>k>3 [/tex]

[Manchev]

Досега я мислих тази задача и се опитвах да направя F(y₁) но така и не можах да го измисля. Имам един въпрос.

Защо f(y₁)= f(y₁) - g(y₁)

?

[ганка симеонова]

знаех си, че ще бъде зададен. нали [tex] y_1; y_2 [/tex] са корени на [tex]g(y)=0=>g(y_1)=0; g(y_2)=0 [/tex]

[Manchev]

Брееей, жестоко!

[ганка симеонова]

тази задача е от сборника на Иван Делев.. там е решена. аз просто преписах решението, но я постнах, защото до сега не са решавани задачи, с взаимно разположение на корените на две квадратни уравнения. И на мен ми харесва

[Manchev]

И аз имам една от курса по математика в НПМГ на Д. Раковска -

a,b e [4;+[tex]\infty [/tex]]

а) x²+ax+b=0 и x²+bx+a=0

Поне едното от тях да има реални корени?

б) Ако а>b , y1 [tex]\le [/tex] y2 са корени на x²+bx+a=0

Да се докаже че x1 и x2 са корени на x²+ax+b=0


които удоволетворяват условието x₁<y₁[tex]\le [/tex]y₂<x₂

[PhilipMath]

[PhilipMath]

Manchev,

За а) имаш а² ≥ 4b и b² ≥ 4a .Събираш ги и получаваш
а² - 4а - 4в + в² ≥ 0 .За да бъде изпълнено за всяко а ,условието е D<0 ,като приемаш нерав. за квадратно спрямо а с параметър b.

[nikolavp]

[PhilipMath]

nikolavp,

Така е двете да имат решения ,а усл. за едното е (а²-4в)(в²-4а)<0

[ганка симеонова]

[Manchev]

Трябва да се докаже че поне едното от двете уравнения има реални корени.

[ганка симеонова]

[estoyanovvd]