Много хитра задача

[Titu_Andrescu]

Да се намери сумата a+b+c, ако числата a,b,c са от интервала [0,1] и a/(bc+1)+b/(ca+1)+c/(ab+1)≥2.

[Реклама]

[kisoso]

Добре де, забелязваме, че ако едното (изм/у a,b,c) е 0, то другите две са задължително развни на 1. ( 0/(1+bc)+b/(0+1)+c/(0+1)>=2) => b+c>=2)
И излиза, чe a+b+c=2. Това също може да се приеме като решение, дори да не е тест. Тъй като търсиш някаква ст-ст (демек единствена).

[Titu_Andrescu]

Трябва да докажеш, че едно от числата е 0, тази сума a+b+c e 2 найстина, но няма как да си сигурен в това, ако всички числа са положителни, а ти не си доказал че това е невъзможно.

Подсказка: Докажете, че ако
a,b,c са от интервала [0,1] ,то a/(bc+1)+b/(ca+1)+c/(ab+1)≤2. Тогава съгласно даденото ще имате само равенство.

http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=605

[Titu_Andrescu]

От условието следва, че (1-b)(1-c)+bc+1-a≥0, което е еквивалентно на 2(bc+1)≥a+b+c или 1/(bc+1)≤2/(a+b+c). Умножаваме почленно и двете страни на неравенството с а≥0 и получаваме, че a/(bc+1)≤2a/(a+b+c).
Аналогично и b/(ca+1)≤b/(a+b+c), c/(ab+1)≤2c/(a+b+c). Събираме последните три неравенства и получаваме, че a/(bc+1)+b/(ca+1)+c/(ab+1)≤2(a+b+c)/(a+b+c)=2. Но па условие имаме, че a/(bc+1)+b/(ca+1)+c/(ab+1)≥2, следователно a/(bc+1)+b/(ca+1)+c/(ab+1)=2, а равенство се достига тогава и само тогава, когато (a,b,c)=(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0). И в трите случая a+b+c=2.