Квадратна функция

[Pinetop Smith]

Да се намерят всички квадратни тричлени f(x) = ax² + bx + c, за които са изпълнени условията:

i) |f(x)| ≤ 1 при х [tex]\in [/tex] [-1;1]
ii) a² + b² + c² = 5

[Реклама]

[atanasilchev]

Доста добра задачка!

[Pinetop Smith]

Ако си я решил, ще ми дадеш ли насока(не цяло решение)

[PhilipMath]

За втората подточка мисля,че единия от коефициентите тряба да бъде 0 ,а другите - ±1;±2.

[martosss]

не трябва ли и двете условия да са на лице?

[Пафнутий]

Значи от |f(x)|≤1 в зададения интервал, следва, че сборът на коефициентите трябва да е по-малък от 1, което ти навярно си се досетил, но понеже [tex]a^2+b^2+c^2=5[/tex], то поне един от коефициентите е отрицателно число и това не трябва да е коефициента [tex]b[/tex], защото тогава условието за f(-1) няма да е изпълнено.Това е, което измислих

[ганка симеонова]

Първо ще докажем, че тези функции имат ос, съвпадаща с Оу. Да допуснем, че оста е изместена, например в ляво от х=0.
Да вземем точка [tex]x=x*<-1=>|f(x*)|>1 [/tex]
Тогава симетричната на x*- нека това е[tex]x**[/tex]ще е в ляво от х=1=>[tex]|f(x**)|>1 [/tex]- противоречие с първото условие.
=>[tex]b=0; |f(0)|\le 1=>-1\le c\le 1=>c^2\le 1 [/tex]

[tex]|f(1)|\le 1=>-1\le a+c\le 1 [/tex]

1) [tex]-1\le a+c\le a+1=>a\ge -2 [/tex]

2)[tex]a-1\le a+c\le 1=>a\le 2 [/tex][tex] =>a^2\le 4 [/tex]

[tex]5=a^2+b^2+c^2\le =a^2+c^2\le 4+1=5 =>a=\pm 2; c=\pm 1=>[/tex]

получаваме набор от четири фумкции, но установяваме с проверка, че само две отговарят на първото условие, а това са:
[tex]f(x)=-2x^2+1 ; f(x)=2x^2-1 [/tex]

[martosss]

[ганка симеонова]

[martosss]

Благодаря за обяснението, изясних си го

[Baronov]

[martosss]