Регистрирайте сеРегистрирайте се

Задача от Лозанов


 
   Форум за математика Форуми -> Математика за 11-12 клас, Кандидат-студенти
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
nikolavp
Фен на форума


Регистриран на: 20 Apr 2008
Мнения: 701

Репутация: 63.6
гласове: 13

МнениеПуснато на: Tue Jul 15, 2008 6:07 pm    Заглавие: Задача от Лозанов

Коефициентите [tex]a, b, c, d, a\ne0[/tex] на полинома [tex]f(x)=ax^3+bx^2+cx+d[/tex] са реални числа и образуват аритметична прогресия в указания ред. Да се докаже, че уравнението [tex]f(x)=0[/tex] има точно един реални корен.

П.С. Правя разсъждения, че това уравнение има един реален корен, само когато производната му няма реални корени => [tex]f'(x)=3ax^2+2bx+c[/tex] искаме да няма реални корени. Нека p е разликата на прогресията =>
[tex]D_{f'(x)}< 0 \\ b^2-3ac <0 \\ (a+p)^2-3a(a+2p) < 0 \\ a^2+2ap+p^2-3a^2-6ap < 0 \\ -2a^2-4ap+p^2 < 0 \\ -(\sqrt{2}a+\sqrt{2}p)^2+3p^2 < 0 \\ 3p^2 < 2(a+p)^2 \\ 3p^2 < 2b^2[/tex]
и сега забих Very Happy.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Tue Jul 15, 2008 7:32 pm    Заглавие:

означаваме разликата на прогресията с d. =>
[tex]f(x)=a(x^3+x^2+x+1+\frac{d}{ a}(x^2+2x+3)) [/tex]
=>[tex]f(x)=0<=>h(x)=\frac{x^3+x^2+x+1}{x^2+2x+3 }=-\frac{a}{ d}[/tex]
знаменателят е >о, за всяко х..
[tex]h^'(x)=\frac{x^4+4x^3+10x^2+4x+1}{(x^2+2x+3)^2 } [/tex]
но, числителят на първата производна е [tex](x+1)^4+4x^2>0=>h(x) [/tex] е винаги растяща=>[tex]h(x)[/tex] приема всяка стойност само по веднъж=>[tex]f(x)=0 [/tex] има единствен реален корен...
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Nona
Напреднал


Регистриран на: 12 Sep 2006
Мнения: 477

Репутация: 234.7
гласове: 163

МнениеПуснато на: Tue Jul 15, 2008 7:44 pm    Заглавие: Re: Задача от Лозанов

nikolavp написа:
Правя разсъждения, че това уравнение има един реален корен, само когато производната му няма реални корени


f'(x)=0 може да има реални корени и f(x)=0 да има само 1 решение. Да разгледаме 2 случая - когато коеф. пред х3 е положителен или отрицателен. Нека х1 и х2 са корените на f'(x)=0.

1 сл.) а>0

Ако х1 < х2, тогава имаме минимум при х2 и за да има само едно решение f(x)=0, трябва да докажем, че f(х2)>0.

2 сл.) а<0

f(х1)>0

Но х1 и х2 в случая не са особено приятни, затова този начин не става.

Извинявам се за драсканицата, но мисля, че е горе-долу разбираема.



loz.PNG
 Description:
 Големина на файла:  11.72 KB
 Видяна:  1180 пъти(s)

loz.PNG


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
nikolavp
Фен на форума


Регистриран на: 20 Apr 2008
Мнения: 701

Репутация: 63.6
гласове: 13

МнениеПуснато на: Tue Jul 15, 2008 9:30 pm    Заглавие:

О да мерси за поправката много правилно Wink.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Математика за 11-12 клас, Кандидат-студенти Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.