Неравенства от Румъния

[Saposto_MM]

Нека a,b,c>0. Докажете, че [tex]\frac{a^{2}+1}{b+c}+\frac{b^{2}+1}{c+a} +\frac{c^{2}+1}{a+b}\ge 3[/tex].
Ако a,b,c>0 и a+b+c=1, то докажете, че [tex]\frac{\sqrt{ab}}{1-c}+\frac{\sqrt{ca}}{1-b}+\frac{\sqrt{bc}}{1-a}\le \frac{1}{8}\left(3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)[/tex].

[Реклама]

[JusTok]

За 1вото:
записваме лявата страна така: [tex]( \frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{a+c} + \frac{c^2}{b+a} ) + (\frac{1}{ b + c } + \frac{1}{b+a} + \frac{1}{c+a})[/tex]
тука пригаме хубавото неравенство за двата израза и се получава:
[tex]\frac{(a+b+c)^2+9}{2(a+b+c)}\ge 3[/tex]
или [tex] (a+b+c)^2 - 6(a+b+c)+9 \ge 0[/tex]

[JusTok]

За 2рото:
от ср.аритметично≥ср.хармонично имаме 1/a+1/b+1/c≥9/(a+b+c)=9 или дясната страна става 12/8=3/2
в лявата, заместваме единицата в знаменателите с a+b+c и става:
[tex] \frac{\sqrt{ab}}{a+b}+\frac{\sqrt{bc}}{b+c}+\frac{\sqrt{ac}}{a+c}[/tex]
тука понеже числата са положителни имаме[tex] \frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab},\frac{b+c}{2}\ge \sqrt{bc},\frac{a+c}{2}\ge \sqrt{ac} [/tex] заместваме в числителите и става
[tex]\frac{a+b}{2(a+b)}+\frac{b+c}{2(b+c)}+\frac{a+c}{2(a+c)}\le \frac{3}{2}[/tex]
[tex]3\le 3[/tex]

[Saposto_MM]

Относно първото неравенство, като приложим неравенството r²+1≥2r за числителите, получаваме Неравенството на Несбит.
По отношение на второто, решението ми е почти същото. За оценка на дясната страна използвам Хубавото Неравенство.
Задачите са от съкратения списък със задачи за Румънската Олимпиада през 2007.