Конкурсни задачи

[v1rusman]

зад.1 (Дико Михов)

Да се намерят всички двойки естествени числа (х,у), за които [tex]x[/tex] дели [tex]y^2+1[/tex] и [tex]y[/tex] дели [tex]x^2+1[/tex]

зад.2 (Дико Михов)

Да се реши в естествени числа уравнението:
[tex]x^2(y^2 - 4 )=z^2 +4[/tex]

зад.3 (Международен турнир в гр. Добрич, 2006г. )

Да се реши уравнението:
[tex](x^2+y)(x+y^2)[/tex]=2²⁰⁰⁶

[Реклама]

[soldier_vl]

Въпрос
3тата задача за 10клас ли е?

[v1rusman]

Третата задача е за 9. клас. Да не си бил на това състезание и да имаш някакъв спомен от задачите ?

[Мирослав Стоенчев]

По задача 1. Лесно се показва, че условието е еквивалентно на [tex]x^2+y^2+1-mxy=0.[/tex] Докажете, че само при m=3 има решения в естествени числа. Накрая "откривате" линейна рекурентна връзка между последователните решения (наредени по големина) и задачката приключва.

За втора и трета задачи не ви трябва жокер.

[Saposto_MM]

Относно 3-та задача не е посочено какви решения се търсят, затова приемам, че са естествени (изглежда ми логично)
Ако x=y достигаме до уравнението x(x+1)=2¹⁰⁰³, което очевидно няма естествени решения. (вярно е дори по-общото m(m+1)=k^p няма решение в естествени числа за всяко p≥2)
Б.О.О. x>y. Тогава x²+y>x+y². Нека x-y=r>0. Нека още x²+y=2^k (k-естествено, k>1003). Тогава x+y²=2^2006-k. Заместваме x=y+r. Получаваме
(y+r)²+y=2^k и
y²+y+r=2^2006-k.
Изваждаме почленно двете уравнения и получаваме
r²+2yr-r=2^k-2^2006-k
r(r+2y-1)=2^2006-k(2^2k-2006-1).
Очевидно r и r+2y-1 са от различна четност. 2^2006-k и 2^2k-2006-1 също.
1-ви случай. 2^2006-k | r, следователно r≥2^2006-k откъдето x-y≥x+y² - няма решение в естествени числа.
2-ри случай. 2^2006-k | r+2y-1, следователно r е нечетно. Тогава x и y са от различна четност. Очевидно обаче, тогава x²+y и x+y² са нечетни.
Окончателно уравнението няма естествени решения.

[ins-]

Извинявам се за въпроса, но кой е Дико Михов?

[nara]

Дико Михов е завършил математическа гимназия в Добрич и Математика в СУ “Св. Климент Охридски”. Участвал е в Националния олимпийски отбор по математика и през 1983-1984 г. печели златен и сребърен медал.
През 1990 г. получава бакалавърска степен от Park University, Мисури, а през 1996 г. защитава докторска степен в Масачузетския технологичен институт. От 1997 г. работи като управляващ директор в Хедж фонда Д. Шоу в Ню Йорк.

[ins-]

Браво на него! Явно е умен и сериозен човек.

[v1rusman]

Очаквах някой да попита. Освен това той е основател на Американската фондация за България и "100% собственик на списание "Математика".