Две уравнения

[v1rusman]

зад.1 (Л. Давидов, Ив.Тонов)
Да се реши в цели неотрицателни числа уравнението:
[tex]5^x.7^y + 4 = 3 ^z[/tex]

зад.2 (Унгарска олимпиада)
Да се реши в цели числа уравнението:
[tex]x^2 - 2y^4 = 1[/tex]

[Реклама]

[Пафнутий]

Няколко поста по-надолу може да видите решението на първата

[v1rusman]

Добри разсъждения си направил, но доста усложняваш задачата. За първа погледни задачата от ПМТ 2007-зад.3. Важното е в тази задача да докажеш, че z е четно, което си направил, но по-нататък нещо не е както трябва.

За втора задача като прехвърлиш единицата всъщност става:
[tex]x^2 - 1 = 2y^4[/tex]

Дясната страна е четно число, а лявата е кратна на 3, защото
[tex]x^2[/tex]≡1 [tex](mod 3)[/tex]

Оттук нататък ще се справиш.

ПП: Добре, че все още има хора, на които им се решават не само училищни задачи, защото този форум се превърне в спамфорум.

[martosss]

[Пафнутий]

1зад
[tex]5^x.7^y+4=3^z[/tex]
Имаме [tex]5^x.7^y\equiv-1(mod3)[/tex]Оттук разглеждаме два случая:
1.случай [tex]5^x\equiv1(mod3)[/tex] ; [tex]7^y\equiv-1(mod3)[/tex]-противоречие на [tex]7\equiv1(mod3) [/tex]
2.случай [tex]5^x\equiv-1(mod3) [/tex] и [tex]7^y\equiv1(mod3)[/tex], откъдето лесно следва, че [tex]x\equiv1(mod2)[/tex] ,т.е [tex]x=2k\pm1[/tex]
От уравнението също имаме [tex]4\equiv3^z(mod5)\Rightarrow3^z\equiv-1(mod5)(1)[/tex] Тъй като НОД (3;5)=1, от малката теорема на Ферма имаме [tex]3^{4f}\equiv1(mod5)[/tex] или [tex]3^{4f+e}\equiv3^e(mod5)[/tex] Като го приложим в [tex](1)[/tex], получаваме, че [tex]z\equiv2(mod4)\Rightarrow z=2.t[/tex]. Записваме уравнението във вида:
[tex]5^x.7^y=3^{2t}-2^2\Rightarrow5^x.7^y=(3^t-2)(3^t+2)[/tex]
Понеже [tex](3^t-2)[/tex] и [tex](3^t+2)[/tex] (ММ го видя) са взаимно прости Имаме системата
[tex]\begin{tabular}{|l}3^t\pm2=5^x \\3^t\mp2=7^y \end{tabular}\Rightarrow[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|l}5^x-7^y=4\\7^y-5^x=4\end{tabular} [/tex] Понеже [tex]5\equiv1(mod4)\Rightarrow5^x\equiv1(mod4)\Rightarrow7^y\equiv1(mod4)\Rightarrow y\equiv0(mod2)[/tex]. Нека [tex]y=2k[/tex], тогава

[tex]\begin{tabular}{|l}(2-7^k)(2+7^k)=5^x\\(7^k-2)(7k+2)=5^x\end{tabular} [/tex], откъдето имаме противоречие по [tex]mod5[/tex] Уравнението няма решение в естествени числа
ПП Препращането към задачата от ПМТ 2007 бе добра идея Това с квадратите се бях досетил, но го мислех за неприложимо Благодаря и на ММ за помощта

[v1rusman]

martosss, частните случаи не са приоритет. Ако така си взимам някое си число, лесно ще намеря у (ако уравнението има решение)-естествено, че разглеждаш, когато х не е степен на 3. Все пак мерси за поправката.

Stanislave, всъщност не си съвсем прав, защото не разглеждаш още един случай:

[tex]3^t - 2 =1[/tex] и [tex]3^t + 2 = 5^x.7^y[/tex]

тогава е ясно, че [tex]t=1[/tex]=>[tex]x=1, y=0, z=2[/tex]-единствено решение. Задачата си е интересна все пак (поне на мен такива са ми интересни).

[Пафнутий]

Да, прав си Ако имаш още от този вид давай ги насам и на мен са ми любимите