Черноризец Храбър 2006

[uktc]

Опънаха ми се няколко задачи от това състезание. Да видим кой ще ги реши .

Задачите са в/у материал 11-12 клас.

[Реклама]

[problem_fucker]

1. Съжалявам за латиницата но не мога да превключвам.
7 e prosto -> 3^6=1(mod 7) ->2.3^6=2 (mod 7)
=>
k.2^(3n+1)=-1 (mod 7)
2^(3n+1)=2.2^3n=2.8^n===2.1=2(mod 7)
2k=-1(mod 7)
k=3(mod 7)
Do 50 imame 3 10 17 24 31 38 45.

[problem_fucker]

и тези задачи сигурно са за 10+ клас?

[silva89]

4.
DO 0<= x <= 1
Функцията е намаляваща в цялата си дефиниционна област ( първата и производна е < 0 за всяка х) и следователно НГС ще бъде при х= 0
т.е. НГС = 2

[silva89]

4.
DO 0<= x <= 1
Функцията е намаляваща в цялата си дефиниционна област ( първата и производна е < 0 за всяка х) и следователно НГС ще бъде при х= 0
т.е. НГС = 2

[Titu_Andrescu]

7.Решение: Дефиниционно множество: m,n≥0. Ще дакажем, че поне едно от двете числа m или n е 0. Да допуснем,че m и n са естествени едновременно. Тогава (m+n^0.5)^0.5 е цяло, следователно
m+n^0.5 e точен квадрат. Тоест и n трябва да е точен квадрат. Аналогично - и m е точен кв.
Нека m=a²,n=b² . От допускането следва, че a,b>0.
Тогава b+a²=x² и b²+a=y² , за някои естествени числа x,y.
b=(x-a)(x+a)
a=(y-b)(y+b)
a<x+a≤ b<y+b≤ a , противоречие. Тоест поне едно от числата m,n трябва да е 0.

Сега вече лесно се откриват решениятя:
(m,n)=(1,0),(2⁴,0) ,(3⁴,0) ,(4⁴,0) ,(5⁴,0) ,(6⁴,0),(0,1),(0, 2⁴),(0, 3⁴),(0, 4⁴),(0, 5⁴),(0, 6⁴), (0,0)

[kisoso]

6.Решение:
То е доста повърхностно... и мисля, че отговорът е сбъркан.
Забелязваме, че числата от първата редица са от вида: 1+4к (к>=4 и к-ест,ч), а втората 1+5р (р>=3). Оттук 1+4к=1+5р => к=5/4 р; Откъдето може да се намери 100 числа. Но естесвено зависи дали редиците продължават да растат, т.е може да е 17, 21, 25, 29, 25, 29, 25, 21... и така наистина няма да се намерят 100 числа от 1-вата редицата, така че да съвпадат с 100 от 2-рата.

[silva89]

5. Не пропускаш ли нещо .... коефициента пред х... няма ли още нещо...т.е. (sin4sin5 + sin5sin6) ...не е ли (sin4sin5+sin5sin6+sin4sin6) ?

[uktc]

[silva89]

Щом е така... използвай разлагане .... Хорнер ( sin4, sin 5 , sin 6 ) се оказват корени. И тогава става лесно. Само, sin е растяща функция в интарвала ( 0, 90) и решенията ще бъдат ( & , sin 4) U ( sin5, sin6)