Представяне на естествено число

[Пафнутий]

Да се докаже, че всяко естествено число A може да се представи по единствен начин във вида:
[tex]\sum_{i=1}^{n} a_{i}.i![/tex] при [tex]0\le a_{i}\le i[/tex]

[Реклама]

[Пафнутий]

Ако до утре няма идеи ще пусна малък жокер

[Saposto_MM]

Нека първо приемем, че A=K!. Тогава избираме a₁=a₂=...=a_n-1=0 и a_n=1.
Нека сега A да не може да се представи като факториел от някакво число. Най-голямата стойност на [tex]\sum_{i=1}^{n}a_{i}i!=\sum_{i=1}^{n}ii!=(n+1)!-1[/tex]. Нека A=Q!-m>(Q-1)! (m E N) избираме n=Q-1 (ако n<Q-1, тогава най-голямата стойност на горната сума ще е по-малка от (Q-1)!). Сега, трябва да докажем че горната сума при различни стойности на a₁, a₂,...,a_n "пробягва" всички числа в интервала (Q!;(Q-1)!). Това мисля, че може да стане с комбинаторно броене на всички стойности на сумата, като крайния отговор трябва да е Q!-(Q-1)!. И така понеже сумата сe мени в интервала (Q!;(Q-1)!) (при а_n≠0), то всички числа в този интервал ще бъдат "пробягани".
Надявам се, че тази идея ще свърши работа. Някой добър по Комбинаторика нека пресметне броя на различните стойности, щото аз съм позабравил формулите, пък и не ми се занимава сега.

[Пафнутий]

Достатъчно е само да докажеш
[tex] 1.1!+2.2!+...+n.n!=(n+1)!-1[/tex] ([tex]\sum_{i=1}^{n}i.i!=(n+1)!-1[/tex]) , което си и направил Като се замисляш оттук следва и че всяко число се покрива
Браво!!!

[Saposto_MM]

Тази задача не мисля, че може да се обобщава и затова реших да я използвам, за да направя друга задача:
Да се намерят целита неотрицателни числа n,a₁,a₂,...,a_n, за които [tex]\sum_{i=1}^{n}a_{i}i!=2008[/tex] и 0≤a_i≤i.

[Пафнутий]

Понеже [tex]7!=5040>2008 \Rightarrow[/tex] числото ще е 6 цифрено.
Понеже [tex]6!=720[/tex] имаме 2 възможности за [tex]a_{6}=1,2[/tex]
1) При [tex]a_{6}=1\Rightarrow \sum_{i=1}^{5}a_{i}.i!=2008-720=1288[/tex]-невъзможно, защото [tex]\sum_{i=1}^{5}i.i!=6!-1=719<1288[/tex] Значи [tex]a_{6}=2[/tex]

2) При [tex]a_{6}=2\Rightarrow\sum_{i=1}^{5}=2008-2.6!=2008-1440=568[/tex] Понеже [tex]5!=120\Rightarrow a_{5}\le[\frac{568}{120}]*=4\Rightarrow a_{5}=1,2,3,4[/tex]. Възможностите [tex]a_{5}=1,2,3[/tex] са невъзможни, защото тогава имаме [tex]\sum_{i=1}^{4}a_{i}.i![/tex] съответно равно на [tex]448,328,208[/tex], а пък [tex]\sum_{i=1}^{4}i.i!=5!-1=119<[/tex] [tex]208,328,448[/tex] Следователно единствената възможност за [tex]a_{5}=4[/tex]
От [tex]a_{5}=4\Rightarrow\sum_{i=1}^{4}=568-4.5!=88[/tex] Понеже [tex]4!=24[/tex], то [tex]a_{4}\le[\frac{88}{24}]*=3\Rightarrow a_{4}=1,2,3[/tex] Случаите [tex]a_{4}=1,2[/tex] отново са невъзможни, защото тогава имаме [tex]\sum_{i=1}^{3}a_{i}.i![/tex] съответно равно на [tex]64,40[/tex] при [tex]\sum_{i=1}^{3}i.i!=4!-1=23<40,64[/tex] Така единствената възможност е [tex]a_{4}=3[/tex]
От [tex]a_{4}=3\Rightarrow\sum_{i=1}^{3}=88-3.4!=16[/tex] или понеже [tex]3!=6\Rightarrow a_{3}\le[\frac{16}{6}]*=2\Rightarrow a_{3}=1,2[/tex] Отново възможността [tex]a_{3}=1[/tex] е невъзможна, защото [tex]\sum_{i=1}^{2}a_{i}.i![/tex] би трябвало да е равно на 10-невъзможно, защото [tex]\sum_{i=1}^{2}i.i!=3!-1=5<10[/tex] Оттам [tex]a_{3}=2\Rightarrow\sum_{i=1}^{2}a_{i}.i!=16-12=4[/tex], откъдето [tex]a_{2}=2[/tex] , [tex]a_{1}=0 [/tex]
Значи [tex]2008_{(10)}=243220_{(!)}[/tex]
С * съм използвал, че [tex][x][/tex] e най-голямото цяло число, ненадминаващо [tex]x [/tex]