3 задача в УАСГ

[yaforski]

Дадена е правилна, четириъгълна пирамида ABCDS с връх S. Точката М лежи на правата BC, като В е между М и С, и MB = 1/2ВС. През М и средите на ръбовете AB и CS е прекарана равнина. В какво отношение тази равнина дели обема на пирамидата?

Ако някой има желание да напише 1 кратко решение...
задачата е от примерна тема 2003г

[Реклама]

[dilyana]

незнам дали е достатъчно кратко, но... това е може и да имам някоя грешка в пресмятането, но това е начина

[yaforski]

бахти как не се сетих... за това решение, мерси @dilyana

[dilyana]

за нищо

[yaforski]

За да не пускам нова тема, направо пиша още една 3та задача от УАСГ тук.

Даден е куб ABCDA1B1C1D1. Точките М и N са среди съответно на B1C1 и D1C1. През точките A, C, M и N e построена сфера.
а) Да се док, че центърът на сферата лежи на отсечката, съединяваща центровете на стените ABCD и A1B1C1D1
б) Ако ръбът на куба е а, да се пресметне радиусът на сферата.

[nikolavp]

Ето идея за а)
Нека [tex]O[/tex] е във вътрешността на куба => За да е [tex]O[/tex] център на сферата трябва [tex]OA=OC[/tex]. От теорема за наклонените =>, че и проекциите им трябва да са равни => центъра на сферата се проектира в средата на диагонала [tex]AC[/tex] От успоредността на двете въпросни стени => O се проектира и в пресечната точка на горните диагонали => О лежи на отсечката съединяваша центровете на стените . Ето ти я с "груба сила". Нека [tex]O[/tex] се проектира в [tex]O_{1}[/tex] в долната основа и в [tex]O_{2}[/tex] отгоре => [tex]\triangle ONO_{2}: \left. ON=R \\ O_{2}N=\frac{a}{2}\right} \Rightarrow OO_{2}=\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}[/tex]
[tex]\triangle AO_{1}O: \left. AO_{1}=\frac{\sqrt{2}a}{2}\\ OA=R\right} \Rightarrow OO_{1}=\sqrt{R^2-\frac{a^2}{2}}[/tex]
От тия двете => [tex]OO_{1}+OO_{2}=O_{1}O_{2}=AA_{1}=a[/tex] Оттук нататък е сметки

[dilyana]

За а) разсъжденията изглеждат верни, но никъде на споменаваш точките М и N, което означава че всяка сфера на която принадлежат А и С е с център лежащ на тази права. А това не е така...
Аз бих използвала това, че симетралната равнина на АС е [tex]BDD_{1}B_{1}[/tex] , а на MN е [tex]ACC_{1}A_{1}[/tex] и тъй като това са 2 кръстосани ръба на тетраедър, центърът на описаната около него окръжност, лежи по пресечницата на двете симетрални равнини.

[nikolavp]