Геометрична задача от 87-ма :)

[nikolavp]

Ето последната задача от темата на мама, давана през 87-ма

Дадена е пирамидата [tex]ABCDM[/tex]. Основата й [tex]ABCD[/tex] е правоъгълен трапец с прави ъгли при върховете [tex]A[/tex] и [tex]D[/tex], дължина [tex]a[/tex] на голямата основа AB, дължина [tex]b[/tex] на малката основа [tex]CD[/tex] и мерно число [tex]\alpha[/tex] на острия ъгъл. Околният ръб [tex]AM[/tex] е [tex]\bot[/tex] на равнината на основата на пирамидата и има дължина [tex]H[/tex]
a) Намерете обема на пирамидата(това е подигравка общо взето)
b) Намерете лицето на сечението на пирамидата с равнина, перпендикулярна на ръба [tex]DM[/tex] и минаваща през петата [tex]K[/tex] на перпендикуляра, спуснат от [tex]A[/tex] към страната [tex]MD[/tex] в триъгълника [tex]AMD[/tex].


П.С. Отговор за б)(много ме кефи та затова )
[tex]S=\frac{1}{2}[a+\frac{bH^2}{(a-b)^2tg^2\alpha}].\frac{H(a-b)tg\alpha}{\sqrt{H^2+(a-b)^2tg^2\alpha}}[/tex]

[Реклама]

[dilyana]

yeahhhh не трябваше да пускаш отговора, така можеше и някой да се излъже да почне да смята

[nikolavp]

[dilyana]

това си е не за хвалба ами не знам.. браво! а къде е била дадена тази приятна задачка ??

[nikolavp]

[ганка симеонова]

аз обаче, защо докарвам по- прост отговор?

[nikolavp]

[dilyana]

утре Софийски ли беше ? Хайде успех на всички, които ще ходят

[ганка симеонова]

само да се настроя психически...

[ганка симеонова]

AD- проекция на АК; [tex]AD\bot AB=>AK\bot AB=>\angle ((ABCD);(AKQB))=\angle DAK=\beta ; \angle DMA=\beta [/tex]
=>[tex]S_{AKQB}=\frac{S_{ABCD}}{cos\beta } [/tex]
[tex]S_{ABCD}=\frac{a+b}{ 2}.CP= \frac{a+b}{ 2}.(a-b)tg\alpha =\frac{a^2-b^2}{ 2}.tg\alpha [/tex]
[tex]\Delta AMD=>MD=\sqrt{H^2+(a-b)^2tg^2\alpha }=>cos\beta =\frac{AD}{MD }=\frac{H}{\sqrt{H^2+(a-b)^2tg^2\alpha } } [/tex]
=>[tex]S_{AKQB}=\frac{(a^2-b^2)sqrt{H^2+(a-b)^2tg^2\alpha } }{2H }tg\alpha [/tex]

[nikolavp]

Два въпроса:
1) Защо твърдите, че проекцията на сечението е в цялата основата
2) От къде разбрахме, че [tex]\angle DAK= \angle DMA=\beta[/tex]
3) Как разбрахте, че сечението ще мине през [tex]QB[/tex]. В смисъл аз видях, че AK е от равнината на сечението, след това лесно се съобразява, че то минава и през успоредна права на [tex]DC[/tex], но защо пресича другата стена точно в [tex]QB[/tex]?А сега го видях [tex]AB\bot AD \Rightarrow AB\bot MD[/tex] . Другите два въпроса обаче остават

[ганка симеонова]

Иавинявам се за късния отговор, но не бях на компа..
Искаме равнината да е перпендикулярна на DM. трябва да намерим две пресекателни прави, от нея, перпендикулярни на DM.
AD-проекция на DM; [tex]AD\bot DC=>DM\bot DC=>[/tex] равнината ще пресече (DCM) в права, успоредна на DC=>[tex]KQ//DC=>DM\bot KQ; DM\bot AK [/tex]=>търсената равнина минава през AK и KQ и това е (ABQK)
Относно ъгъл бета. Разгледай правоъгълния триъгълник ADM. АК е височна към хипотенузата=> [tex]\angle DMA=\angle DAK [/tex]

[ганка симеонова]

моля, гледайте решението, само с поучителна цел. сътворила съм голяма глупост. ще я поправя

[ганка симеонова]

[tex]S_{AKQB}=\frac{S_{AFTB}}{ cos\beta } [/tex], където [tex]KF, QT//AM[/tex]
AF можем да намерим от триъгълник AFK=>[tex]AF=AK.cos\beta [/tex]
после чрез подобие намираме FT и височината на трапеца ABTF , за да намерим лицето му...
и наистина става приятно забавление със сметки ..

[nikolavp]