Регистрирайте сеРегистрирайте се

Задача 9


 
   Форум за математика Форуми -> Задача на седмицата
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Мирослав Стоенчев
Напреднал


Регистриран на: 21 Aug 2007
Мнения: 279

Репутация: 72
гласове: 45

МнениеПуснато на: Tue Jul 08, 2008 2:58 pm    Заглавие: Задача 9

Задача 9. Нека [tex]ABCD[/tex] е вписан и описан четириъгълник, за който [tex]|AB|\ne |CD|,\ |AD|\ne |BC|.[/tex] Да се докаже, че съществува точка [tex]N[/tex] в равнината на четириъгълника и външна за него, със свойствата:

[tex]i) \ \angle ANB=\angle DNC,\ \angle BNC=\angle DNA[/tex]
[tex]ii)\ |NA|.|NC|=|NB|.|ND|[/tex]

Единствена ли е точката [tex]N[/tex] с тези свойства?


Последната промяна е направена от Мирослав Стоенчев на Tue Jul 08, 2008 4:44 pm; мнението е било променяно общо 1 път
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Tue Jul 08, 2008 4:14 pm    Заглавие:

Една такава точка е пресечната точка на диагоналите на четириъгълника като че ли, понеже ъглите стават връхни и са равни, а равенството на отсечките следва от свойството на секущите за Описаната около четириъглника окръжност Wink Дали друга такава точка има не знам, но поне една намерихме Smile
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Мирослав Стоенчев
Напреднал


Регистриран на: 21 Aug 2007
Мнения: 279

Репутация: 72
гласове: 45

МнениеПуснато на: Tue Jul 08, 2008 4:43 pm    Заглавие:

Мартос откри, че съм пропуснал да добавя - търсената точка N е външна за четириъгълника. Сега ще допълня условието. Благодаря за забележката.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Tue Jul 08, 2008 4:52 pm    Заглавие:

Мирослав Стоенчев написа:
Мартос откри че съм пропуснал да добавя, че търсената точка N е външна за четириъгълника. Сега ще допълня условието. Благодаря за забележката.


В такъв случай тези ъгли стават равни само тогава, когато тази точка е пресечната точка на две срещулежащи страни - АВ и СД или ВС и АД. Тоест има две такива точки, за които ъглите са равни, остава да видим дали и равенството с отсечките е изпълнено Confused Да, и то е изпълнено - то следва от описаната окръжност , примерно ако точка N е пресечна точка на АД и ВС, то триъгълниците DCN и BAN са подобни, от където следва това Wink Тоест тези точки стават 2 ако не се лъжа Confused

Тая задача ми се стори сравнително по-лесна, отколкото предишните - и за тях имах някакви извратени идеи Laughing , ама не можех да ги обясня, а пък тая вече не е толкова трудна Wink Давай в същия дух Laughing

П.П. Да, отново ми е грешно, не само тогава са равни тези ъгли, има и други случаи, доста при това... Трябва да помисля още


Последната промяна е направена от martosss на Tue Jul 08, 2008 5:38 pm; мнението е било променяно общо 1 път
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Мирослав Стоенчев
Напреднал


Регистриран на: 21 Aug 2007
Мнения: 279

Репутация: 72
гласове: 45

МнениеПуснато на: Tue Jul 08, 2008 5:05 pm    Заглавие:

За така дефинираната точка [tex]N,[/tex] може да се докаже, че [tex]|NA|.|NC|=|NB|.|ND|=\frac{R^2r^2(r+\sqrt{4R^2+r^2})^2}{4R^4-r^2(r+\sqrt{4R^2+r^2})^2}.[/tex]

Решението на Мартос не е вярно.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Мирослав Стоенчев
Напреднал


Регистриран на: 21 Aug 2007
Мнения: 279

Репутация: 72
гласове: 45

МнениеПуснато на: Fri Jul 11, 2008 6:43 pm    Заглавие:

Задача 9. Нека [tex]AB\cap CD=E,\ BC\cap AD=F, \ O-[/tex]център на описаната окръжност около [tex]ABCD.[/tex] Нека още [tex]ON'\bot EF,\ N'\in EF.[/tex] Докажете, че [tex]N'[/tex] има желаното свойство. Условието за описаност на [tex]ABCD[/tex] е излишно.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Задача на седмицата Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.