Регистрирайте се
Предишната тема :: Следващата тема |
Автор |
Съобщение |
Мирослав Стоенчев Напреднал
Регистриран на: 21 Aug 2007 Мнения: 279
гласове: 45
|
Пуснато на: Tue Jul 08, 2008 2:58 pm Заглавие: Задача 9 |
|
|
Задача 9. Нека [tex]ABCD[/tex] е вписан и описан четириъгълник, за който [tex]|AB|\ne |CD|,\ |AD|\ne |BC|.[/tex] Да се докаже, че съществува точка [tex]N[/tex] в равнината на четириъгълника и външна за него, със свойствата:
[tex]i) \ \angle ANB=\angle DNC,\ \angle BNC=\angle DNA[/tex]
[tex]ii)\ |NA|.|NC|=|NB|.|ND|[/tex]
Единствена ли е точката [tex]N[/tex] с тези свойства?
Последната промяна е направена от Мирослав Стоенчев на Tue Jul 08, 2008 4:44 pm; мнението е било променяно общо 1 път |
|
Върнете се в началото |
|
|
Реклама
|
Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
martosss VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007 Мнения: 3937 Местожителство: Somewhere over the rainbow гласове: 213
|
Пуснато на: Tue Jul 08, 2008 4:14 pm Заглавие: |
|
|
Една такава точка е пресечната точка на диагоналите на четириъгълника като че ли, понеже ъглите стават връхни и са равни, а равенството на отсечките следва от свойството на секущите за Описаната около четириъглника окръжност Дали друга такава точка има не знам, но поне една намерихме |
|
Върнете се в началото |
|
|
Мирослав Стоенчев Напреднал
Регистриран на: 21 Aug 2007 Мнения: 279
гласове: 45
|
Пуснато на: Tue Jul 08, 2008 4:43 pm Заглавие: |
|
|
Мартос откри, че съм пропуснал да добавя - търсената точка N е външна за четириъгълника. Сега ще допълня условието. Благодаря за забележката. |
|
Върнете се в началото |
|
|
martosss VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007 Мнения: 3937 Местожителство: Somewhere over the rainbow гласове: 213
|
Пуснато на: Tue Jul 08, 2008 4:52 pm Заглавие: |
|
|
Мирослав Стоенчев написа: | Мартос откри че съм пропуснал да добавя, че търсената точка N е външна за четириъгълника. Сега ще допълня условието. Благодаря за забележката. |
В такъв случай тези ъгли стават равни само тогава, когато тази точка е пресечната точка на две срещулежащи страни - АВ и СД или ВС и АД. Тоест има две такива точки, за които ъглите са равни, остава да видим дали и равенството с отсечките е изпълнено Да, и то е изпълнено - то следва от описаната окръжност , примерно ако точка N е пресечна точка на АД и ВС, то триъгълниците DCN и BAN са подобни, от където следва това Тоест тези точки стават 2 ако не се лъжа
Тая задача ми се стори сравнително по-лесна, отколкото предишните - и за тях имах някакви извратени идеи , ама не можех да ги обясня, а пък тая вече не е толкова трудна Давай в същия дух
П.П. Да, отново ми е грешно, не само тогава са равни тези ъгли, има и други случаи, доста при това... Трябва да помисля още
Последната промяна е направена от martosss на Tue Jul 08, 2008 5:38 pm; мнението е било променяно общо 1 път |
|
Върнете се в началото |
|
|
Мирослав Стоенчев Напреднал
Регистриран на: 21 Aug 2007 Мнения: 279
гласове: 45
|
Пуснато на: Tue Jul 08, 2008 5:05 pm Заглавие: |
|
|
За така дефинираната точка [tex]N,[/tex] може да се докаже, че [tex]|NA|.|NC|=|NB|.|ND|=\frac{R^2r^2(r+\sqrt{4R^2+r^2})^2}{4R^4-r^2(r+\sqrt{4R^2+r^2})^2}.[/tex]
Решението на Мартос не е вярно. |
|
Върнете се в началото |
|
|
Мирослав Стоенчев Напреднал
Регистриран на: 21 Aug 2007 Мнения: 279
гласове: 45
|
Пуснато на: Fri Jul 11, 2008 6:43 pm Заглавие: |
|
|
Задача 9. Нека [tex]AB\cap CD=E,\ BC\cap AD=F, \ O-[/tex]център на описаната окръжност около [tex]ABCD.[/tex] Нека още [tex]ON'\bot EF,\ N'\in EF.[/tex] Докажете, че [tex]N'[/tex] има желаното свойство. Условието за описаност на [tex]ABCD[/tex] е излишно. |
|
Върнете се в началото |
|
|
|
|
Не Можете да пускате нови теми Не Можете да отговаряте на темите Не Можете да променяте съобщенията си Не Можете да изтривате съобщенията си Не Можете да гласувате в анкети You cannot attach files in this forum Може да сваляте файлове от този форум
|
|