Задача от сборника на Хр.Пачев

[Garoll]

От върха на тъпия ъгъл на ромб са спуснати перпендикуляри към страните , неминаващи през този връх.Всеки от тях е дълъг h , а разстоянието между петите им е p.Намерете лицето на ромба.

Аз означавам с x страната на ромба , с M и P петите на разстоянията.Отсечката MP=p и ако ромбът е ABCD , то MD=DP = x-y , където PC=y.След това разглеждам триъгълниците MDP ACD , които са подобни , тъй като DBPD е делтоид , на който DB и MP са диагонали(диагоналите в делтоида са перп. , откъдето следва и цялото подобие.).
Получавам [tex]\frac{p}{AC }=\frac{x-y}{y }=>AC=\frac{p.y}{x-y}[/tex].Другият диагонал на ромба BD намирам с питагорова теорема от триъгълник BMD и получавам
[tex]BD=\sqrt{h^{2}+x^{2}+y^{2}-2xy}[/tex].После прилагам формулата [tex]S=\frac{BD.AC}{2}[/tex] и го приравнявам със [tex]S=x.h[/tex].Така едното уравнение ми става [tex]\sqrt{x^{2}-2xy+y^{2}+h^{2}}.\frac{p.y}{x-y}=2.x.h[/tex], а другото от питагорова теорема за триъгълник BPC [tex]x^{2}=y^{2}+h^{2}[/tex] , обаче нещо това излиза много сложно...
Ако някой каже дали идеята е вярна или ми даде нещо по-добро ще съм му много благодарен.

[Реклама]

[ObsCure]

Dokaji,che ako rombyt ti e ABCD,a perpendikylqrite sa DD₁(D₁ leji na AB,a P na BC)i DP,to cheteriygylnikyt BPDD₁ e vpisan,t.e.

<D₁DP=<BAC=180°-<ABC=α

Sled tova prilagash kosinusova za ▲DD₁P,izrazqvash cos α,a ottam i polovinkata sinus α.S osnovnoto trigonometrichno namirash i polovinkata kosinus.Sega izrazqvash celiqt sin na ygyla

sinα=2sinα/2.cosα/2

Ot pravoygylniqt ▲ADD₁ izrazqvash chrez sin α i h stranata na romba i okonchatelno izpolzash za liceto

S=b²sinα

kydeto b e stranata na rombyt.

P.S.Sorry,no kirilicata mi se fucked up.

[simon_kazakov]

Повечето задачи от сборника се решеват с прилагане на много тънки и елегантни построения. Ако някоя задача ти тръгне с много смятания и ти се види сложна алгебричната част, със сигурност има по-леко решение.

И така, имаме че [tex]DM=DP=h; MP=p[/tex]. Нека [tex]\angle BAD=\alpha [/tex], тогава [tex]\angle MDP=\alpha [/tex]. За [tex]\Delta MPD[/tex] знаеш трите страни, съответно можеш да намериш [tex]sin(\alpha)[/tex]. И натам мисля, че сам ще се справиш.
P.S. Според мен [tex]sin(\alpha)[/tex] най- лесно се намира чрез sinT. за [tex]\Delta MPD[/tex].
[tex]sin(\alpha)=\frac{p.sin(\beta )}{h } [/tex], като [tex]sin(\beta )[/tex] намираш от [tex]\Delta MVD[/tex]

[Garoll]

Задачата е в раздел , в който не се позлва тригонометрия затова гледах без тригонометрия да я решавам..

[ганка симеонова]