Няколко уравнения с корен трети и четвърти

[Spider Iovkov]

Да се решат уравненията:
а) [tex]\sqrt[4]{8+x}+\sqrt[4]{8-x}=2[/tex];
б) [tex]\sqrt[3]{\frac{2x+3}{2x-3}}+\sqrt[3]{\frac{2x-3}{2x+3}}=\frac{8}{13}.\frac{4x^2+9}{4x^2-9}[/tex];
в) [tex]\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{x-1}=\sqrt[4]{x^2-1}[/tex].

[Реклама]

[martosss]

[Spider Iovkov]

Ами ето втори вариант на това уравнение, в който вариант не участва повдигане на четвърта степен, но това не означава, че пресмятанията са по-прости, .

[tex]\sqrt[4]{8+x}+\sqrt[4]{8-x}=2,[/tex]
[tex]DM_{x}: x\in[-8;8][/tex].

Нека положим [tex]\sqrt[4]{8+x}=u (1); \sqrt[4]{8-x}=v (2)[/tex]. Тогава
[tex](1): 8+x=u^4 \Rightarrow x=u^4-8, u\ge0[/tex]
[tex](2): 8-x=v^4 \Rightarrow x=8-v^4, v\ge0[/tex].

Така получаваме системата:

[tex]\begin{tabular}{|l}u+v=2\\u^4-8=8-v^4\end{tabular}[/tex],
[tex]u=2-v[/tex]
[tex]\Rightarrow u^4-8=8-v^4 \Leftrightarrow (2-v)^4=16-v^4 \Leftrightarrow (2-v)^4=2^4-v^4 \Leftrightarrow (2-v)^4=(2^2)^2-(v^2)^2 \Leftrightarrow (2-v)^4=(2^2+v^2)(2^2-v^2) \Leftrightarrow (2-v)^4=(2^2+v^2)(2+v)(2-v) \Leftrightarrow (2-v)(2-v)^3-(4+v^2)(2+v)(2-v)=0 \Leftrightarrow (2-v)[(2-v)^3-(4+v^2)(2+v)]=0 \Leftrightarrow (2-v)(v^3-2v^2+ 8 v )=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (2-v)(v^3-2v^2+ 8 v )=0 \Leftrightarrow v(2-v)(v^2-2v+ 8 )=0 \Leftrightarrow v_{1}=0, v_{2}=2[/tex]
[tex]\Rightarrow u_{1}=2, u_{2}=0[/tex]
[tex]\Rightarrow x_{1}=u_{1}^4-8, x_{1}=8, x_{1} \in DM_{x},[/tex]
[tex]x_{2}=u_{2}^2-8, x_{2}=-8, x_{2} \in DM_{x},[/tex]
[tex]x_{3}=8-v_{1}^4, x_{3}=8, x_{3} \in DM_{x},[/tex]
[tex]x_{4}=8-v_{2}^4, x_{4}=-8, x_{4} \in DM_{x}[/tex].

[martosss]

Вземи да съкратиш лейтекса, аз този начин го пробах за последното, ама не стана

[ганка симеонова]

[Spider Iovkov]

б) След повдигане на трета степен се получава

[tex]\frac{2x+3}{2x-3}+\frac{2x-3}{2x+3}+3(\sqrt[3]{\frac{2x+3}{2x-3}}+\sqrt[3]{\frac{2x-3}{2x+3}})=(\frac{8}{13})^3(\frac{4x^2+9}{4x^2-9})^3[/tex],

тоест

[tex]\frac{4x^2+9}{4x^2-9}+3.\frac{8}{13}.\frac{4x^2+9}{4x^2-9}=(\frac{8}{13})^3(\frac{4x^2+9}{4x^2-9})^3[/tex]
[tex]\Rightarrow x_{1,2}=\pm \frac{27}{14}, x_{3,4}=\pm \frac{7}{6}[/tex].

[ганка симеонова]

за третото да си ядеш ушите, емо. видях го в сборника. оплескал си последния корен. под знака на третия корен имаме x+1