Регистрирайте сеРегистрирайте се

Неравенство с условие за сбор равен на 1


 
   Форум за математика Форуми -> Неравенства
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Saposto_MM
Напреднал


Регистриран на: 02 Apr 2007
Мнения: 383
Местожителство: Панагюрище
Репутация: 124.4
гласове: 67

МнениеПуснато на: Mon Jul 07, 2008 7:48 pm    Заглавие: Неравенство с условие за сбор равен на 1

Ако за реалните положителни числа [tex]a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}[/tex] е вярно [tex]\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}=1[/tex], то докажете, че [tex](a_{1}-1)(a_{2}-1)\cdots(a_{n}-1)\ge (n-1)^{n}[/tex]
Оригиналната задача е за n=3. Аз успях да я реша и реших да я обобщя. Не успях обаче да открия решение на обобщението. Успях да приложа авторското решение авторското решение за случая n=3 за общия случай. То използваше идея, която забелязах, но мислех, че е неприложима. Потърсете няколко решения. Аз също ще помисля отново.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
dim
Напреднал


Регистриран на: 28 Jul 2008
Мнения: 324

Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7
гласове: 21

МнениеПуснато на: Wed Sep 24, 2008 4:45 pm    Заглавие:

Нещо не разбирам в това условие. За [tex]n=3[/tex], имаме:[tex](a_1-1)(a_2-1)(a_3-1)\ge 8[/tex]. Aко тук заместим с най-лесното: [tex]a_1=a_2=a_3=\frac{1}{ 3} [/tex], получаваме [tex](\frac{1}{3 }-1)^3=(-\frac{2}{3 })^3<8[/tex] ???
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
soldier_vl
VIP


Регистриран на: 09 Jul 2007
Мнения: 1151
Местожителство: София
Репутация: 99Репутация: 99
гласове: 22

МнениеПуснато на: Wed Sep 24, 2008 4:52 pm    Заглавие:

dim написа:
Нещо не разбирам в това условие. За [tex]n=3[/tex], имаме:[tex](a_1-1)(a_2-1)(a_3-1)\ge 8[/tex]. Aко тук заместим с най-лесното: [tex]a_1=a_2=a_3=\frac{1}{ 3} [/tex], получаваме [tex](\frac{1}{3 }-1)^3=(-\frac{2}{3 })^3<8[/tex] ???


Ако а12=3=1/3 има противоречие с условието. Трябва да са равни на 3 за да е като хората условието Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
dim
Напреднал


Регистриран на: 28 Jul 2008
Мнения: 324

Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7
гласове: 21

МнениеПуснато на: Wed Sep 24, 2008 5:11 pm    Заглавие:

Да, разбрах. Сега чак огледах внимателно условието.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
JusTok
Редовен


Регистриран на: 26 Jul 2007
Мнения: 117
Местожителство: Варна
Репутация: 45.3Репутация: 45.3Репутация: 45.3Репутация: 45.3Репутация: 45.3
гласове: 24

МнениеПуснато на: Thu Sep 25, 2008 4:14 pm    Заглавие:

За n=3 се доказва елементарно с разкриване на скоби ама за общия случай не мога да го измисля Confused . След разкриване на скоби изразът може да се представи като сбор и разлика на симетрични полиноми и после да мислим с Нютон или Макларън ама аз не успях да го изкарам.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Baronov
Напреднал


Регистриран на: 05 Jun 2008
Мнения: 316

Репутация: 55.4
гласове: 39

МнениеПуснато на: Thu Sep 25, 2008 5:03 pm    Заглавие:

Полагаме [tex]x_{i}=\frac{1}{a_{i}}[/tex]. Условието довива вида :
[tex](1-x_{1})(1-x_{2})... \geq (n-1)^{n}x_{1}x_{2}...x_{n} \Leftrightarrow (x_{2}+x_{3}...x_{n})(x_{1}+x_{3} + ..+ x_{n})...(x_{1}+x_{2}+..+x_{n-1}) \geq (n-1)^nx_{1}x_{2}..x_{n}[/tex]. Сега остава да приложим AM-GM за всяка скоба от лявата страна и готово..
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
dim
Напреднал


Регистриран на: 28 Jul 2008
Мнения: 324

Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7
гласове: 21

МнениеПуснато на: Fri Sep 26, 2008 12:27 pm    Заглавие:

Baronov написа:
Полагаме [tex]x_{i}=\frac{1}{a_{i}}[/tex]. Условието довива вида :
[tex](1-x_{1})(1-x_{2})... \geq (n-1)^{n}x_{1}x_{2}...x_{n} \Leftrightarrow (x_{2}+x_{3}...x_{n})(x_{1}+x_{3} + ..+ x_{n})...(x_{1}+x_{2}+..+x_{n-1}) \geq (n-1)^nx_{1}x_{2}..x_{n}[/tex]. Сега остава да приложим AM-GM за всяка скоба от лявата страна и готово..


Не разбирам как преценяваш, че:
[tex](1-x_{1})(1-x_{2})... \geq (n-1)^{n}x_{1}x_{2}...x_{n} \Leftrightarrow (x_{2}+x_{3}...x_{n})(x_{1}+x_{3} + ..+ x_{n})...(x_{1}+x_{2}+..+x_{n-1}) \geq (n-1)^nx_{1}x_{2}..x_{n}[/tex]

Би ли обяснил по-подробно този момент.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Fri Sep 26, 2008 1:42 pm    Заглавие:

Използва, че [tex]1=\sum_{i=1}^n x_{i}[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
dim
Напреднал


Регистриран на: 28 Jul 2008
Мнения: 324

Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7Репутация: 45.7
гласове: 21

МнениеПуснато на: Fri Sep 26, 2008 2:21 pm    Заглавие:

10x . Очевидно е наистина. Добро решение.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Неравенства Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.