Предишната тема :: Следващата тема |
Автор |
Съобщение |
Saposto_MM Напреднал
Регистриран на: 02 Apr 2007 Мнения: 383 Местожителство: Панагюрище гласове: 67
|
Пуснато на: Mon Jul 07, 2008 7:48 pm Заглавие: Неравенство с условие за сбор равен на 1 |
|
|
Ако за реалните положителни числа [tex]a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}[/tex] е вярно [tex]\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}=1[/tex], то докажете, че [tex](a_{1}-1)(a_{2}-1)\cdots(a_{n}-1)\ge (n-1)^{n}[/tex]
Оригиналната задача е за n=3. Аз успях да я реша и реших да я обобщя. Не успях обаче да открия решение на обобщението. Успях да приложа авторското решение авторското решение за случая n=3 за общия случай. То използваше идея, която забелязах, но мислех, че е неприложима. Потърсете няколко решения. Аз също ще помисля отново. |
|
Върнете се в началото |
|
|
Реклама
|
Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
dim Напреднал
Регистриран на: 28 Jul 2008 Мнения: 324
гласове: 21
|
Пуснато на: Wed Sep 24, 2008 4:45 pm Заглавие: |
|
|
Нещо не разбирам в това условие. За [tex]n=3[/tex], имаме:[tex](a_1-1)(a_2-1)(a_3-1)\ge 8[/tex]. Aко тук заместим с най-лесното: [tex]a_1=a_2=a_3=\frac{1}{ 3} [/tex], получаваме [tex](\frac{1}{3 }-1)^3=(-\frac{2}{3 })^3<8[/tex] ??? |
|
Върнете се в началото |
|
|
soldier_vl VIP
Регистриран на: 09 Jul 2007 Мнения: 1151 Местожителство: София гласове: 22
|
Пуснато на: Wed Sep 24, 2008 4:52 pm Заглавие: |
|
|
dim написа: | Нещо не разбирам в това условие. За [tex]n=3[/tex], имаме:[tex](a_1-1)(a_2-1)(a_3-1)\ge 8[/tex]. Aко тук заместим с най-лесното: [tex]a_1=a_2=a_3=\frac{1}{ 3} [/tex], получаваме [tex](\frac{1}{3 }-1)^3=(-\frac{2}{3 })^3<8[/tex] ??? |
Ако а1=а2=3=1/3 има противоречие с условието. Трябва да са равни на 3 за да е като хората условието |
|
Върнете се в началото |
|
|
dim Напреднал
Регистриран на: 28 Jul 2008 Мнения: 324
гласове: 21
|
Пуснато на: Wed Sep 24, 2008 5:11 pm Заглавие: |
|
|
Да, разбрах. Сега чак огледах внимателно условието. |
|
Върнете се в началото |
|
|
JusTok Редовен
Регистриран на: 26 Jul 2007 Мнения: 117 Местожителство: Варна гласове: 24
|
Пуснато на: Thu Sep 25, 2008 4:14 pm Заглавие: |
|
|
За n=3 се доказва елементарно с разкриване на скоби ама за общия случай не мога да го измисля . След разкриване на скоби изразът може да се представи като сбор и разлика на симетрични полиноми и после да мислим с Нютон или Макларън ама аз не успях да го изкарам. |
|
Върнете се в началото |
|
|
Baronov Напреднал
Регистриран на: 05 Jun 2008 Мнения: 316
гласове: 39
|
Пуснато на: Thu Sep 25, 2008 5:03 pm Заглавие: |
|
|
Полагаме [tex]x_{i}=\frac{1}{a_{i}}[/tex]. Условието довива вида :
[tex](1-x_{1})(1-x_{2})... \geq (n-1)^{n}x_{1}x_{2}...x_{n} \Leftrightarrow (x_{2}+x_{3}...x_{n})(x_{1}+x_{3} + ..+ x_{n})...(x_{1}+x_{2}+..+x_{n-1}) \geq (n-1)^nx_{1}x_{2}..x_{n}[/tex]. Сега остава да приложим AM-GM за всяка скоба от лявата страна и готово.. |
|
Върнете се в началото |
|
|
dim Напреднал
Регистриран на: 28 Jul 2008 Мнения: 324
гласове: 21
|
Пуснато на: Fri Sep 26, 2008 12:27 pm Заглавие: |
|
|
Baronov написа: | Полагаме [tex]x_{i}=\frac{1}{a_{i}}[/tex]. Условието довива вида :
[tex](1-x_{1})(1-x_{2})... \geq (n-1)^{n}x_{1}x_{2}...x_{n} \Leftrightarrow (x_{2}+x_{3}...x_{n})(x_{1}+x_{3} + ..+ x_{n})...(x_{1}+x_{2}+..+x_{n-1}) \geq (n-1)^nx_{1}x_{2}..x_{n}[/tex]. Сега остава да приложим AM-GM за всяка скоба от лявата страна и готово.. |
Не разбирам как преценяваш, че:
[tex](1-x_{1})(1-x_{2})... \geq (n-1)^{n}x_{1}x_{2}...x_{n} \Leftrightarrow (x_{2}+x_{3}...x_{n})(x_{1}+x_{3} + ..+ x_{n})...(x_{1}+x_{2}+..+x_{n-1}) \geq (n-1)^nx_{1}x_{2}..x_{n}[/tex]
Би ли обяснил по-подробно този момент. |
|
Върнете се в началото |
|
|
Пафнутий VIP
Регистриран на: 04 Mar 2008 Мнения: 1199
гласове: 54
|
Пуснато на: Fri Sep 26, 2008 1:42 pm Заглавие: |
|
|
Използва, че [tex]1=\sum_{i=1}^n x_{i}[/tex] |
|
Върнете се в началото |
|
|
dim Напреднал
Регистриран на: 28 Jul 2008 Мнения: 324
гласове: 21
|
Пуснато на: Fri Sep 26, 2008 2:21 pm Заглавие: |
|
|
10x . Очевидно е наистина. Добро решение. |
|
Върнете се в началото |
|
|
|