Вътрешен изпит НПМГ

[2sxy4u]

http://store3.data.bg/konkursi/Konkursi_2008/%d1%ee%f4%e8%e9%f1%ea%e8%20%f3%ed%e8%e2%e5%f0%f1%e8%f2%e5%f2/NPMG-SU.pdf смятам , че темата е просто нечовешка , всякакви идеи ще са от полза

[Реклама]

[Saposto_MM]

Относно задача 10. виж тук!

[2sxy4u]

10та ми се струва най-лесна
a=c.cos[tex]\alpha [/tex] ; b=c.sin[tex]\alpha [/tex]; h=ab/c=csin[tex]\alpha [/tex]cos[tex]\alpha [/tex]
sin[tex]\alpha [/tex]+cos[tex]\alpha [/tex] - sin[tex]\alpha [/tex]cos[tex]\alpha [/tex][tex]\ge [/tex]k
Нататък ясно

[ганка симеонова]

кажи, коя те затруднява, за да помилсим

[2sxy4u]

Мерси , от нея почнах

[2sxy4u]

7,8,9

[ганка симеонова]

7) замествайки с дадения корен, получаваме :
[tex]\sqrt{3}(3b-a)+4b-a-1=0 [/tex]
тъй като а и b са рационални числа=>[tex]3b-a=0=>a=3b=>4b-a-1=0=>b=1; a=3[/tex]
замествайки получаваме уравнението:
[tex]3x^3+x^2-9x-3=0=>3(x+\frac{1}{3 })(x^2-3)=0 =>x_1=-\frac{1}{3 }; x_{2,3}=\pm \sqrt{3} [/tex]

[nikolavp]

[tex]f(x)=x^2[/tex]
Приемаме, че [tex]O[/tex] е център на координатната система
Нека [tex]\left. C(Xc;Yc)\\C \in f(x) \right} \Rightarrow C(Xc;Xc^2)[/tex]
Много ясно се вижда, че C е над абсцисната ос, освен това AB е фиксирана => колкото по - голяма става височината толкова по - голямо става лицето на триъгълника => колкото повече отдалечаваме точка [tex]C[/tex] толкова по - голямо става лицето на триъгълника ни, което не ни устройва. От тук => [tex]Xc\in[0;+\infty)[/tex] (само първи квадрант) [tex]\Rightarrow[/tex] ако точка [tex]C'[/tex] е проекцията на [tex]C'[/tex] върху ординатната ос, а [tex]C_{1}[/tex] е прокцията на [tex]C[/tex] на абсцисната ос имаме:
[tex]\left. S_{\triangle ABC}=S_{\triangle BAO}+S_{AOCC'}-S_{\triangle BCC'}=\varphi(Xc)\\ S_{\triangle BAO}=\frac{|OB|.|AO|}{2}=\frac{|-8|\cancel{2}}{\cancel{2}}=8 \\ S_{AOCC'}=\frac{CC'+OA}{2}.OC'=\frac{2+Xc}{2}.Xc^2\\ S_{\triangle BCC'}=\frac{(|-8|+Xc^2).Xc}{2}\right}=> \varphi(Xc)=8+\frac{(2+Xc)Xc^2}{2}-\frac{(8+Xc^2)Xc}{2}=8+\frac{2Xc^2\cancel{+Xc^3}-8Xc\cancel{-Xc^3}}{2}= \\ =Xc^2-4Xc+8[/tex]
Тази функция има минимум при [tex]Xc=\frac{4}{2}=2 \Rightarrow C(2;4)[/tex]

EDIT: Забравил съм да спомена, че [tex]C[/tex] е заключена между ординатната ос и и правата [tex]AB[/tex]. Това много лесно се доказва, като се използва, че [tex]f(x)[/tex] и права [tex]AB[/tex] нямат общи точки:
Правата, която минава през [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex]
[tex]\left.\begin{tabular}{|l} t: y=kx+n \\ A\in t \\ B\in t\end{tabular} \right}=> \left. \begin{tabular}{|l} -2k=n \\ n=-8 \end{tabular} \right}=>k=4 => t: y=4x-8[/tex]
[tex]x^2=4x-8 \\ x^2-4x+8 \\ D<0...[/tex]

[ганка симеонова]

9) очевидно радиусите r на сферата, в допирните точки с двете стени са перпендикулярни на тези стени. тогава ще ползваме метода на обемите. тези радиуси са височини на пирамидите [tex]DBCO[/tex] и [tex]ABDO[/tex]=>

[tex]V_{ABCD}=V_{DBCO}+V_{ABDO}[/tex]

[tex]S_{ABC}=60=>V_{ABCD}=100 [/tex]

[tex]S_{CBD}=\frac{65}{2 }; S_{ABD}=\frac{130}{2 }=>100=\frac{1}{3 }.\frac{65}{2 }.r+\frac{1}{3 }.\frac{130}{2 }.r=>r=\frac{300}{65 } [/tex]

[Tony_89]

[ганка симеонова]

не мисля.. защо? значи имаме или аз, или ти грешка в обема..

[Tony_89]

[tex]100 = \frac{65r}{6} + \frac{130r}{6}[/tex]

[tex]600 = 195r[/tex]

[tex]r = \frac{600}{195} = \frac{40}{13}[/tex]

[experiment]

ако може някой да реши 6 задача

[ганка симеонова]

[Руси Колев]

[ганка симеонова]

Само е за плаж...

[2sxy4u]

За 6-та , SABD=SABC , след като се изразят по Херонова , след диви сметки АВ=40. После или по същият начин, или чрез две косинусови за ABD и ACD , CD=19. Аз поне за по-лесен начин не се сетих ( за друг начин не се сетих )

[nikolavp]

[ганка симеонова]

[cveta]

Ето още една тема от Вътрешен изпит за НПМГ.
Предлагам ви да се поупражнявате и да споделите резултатите, а може би и някои от решенията!
http://store3.data.bg/konkursi/Konkursi_2008/%cd%cf%cc%c3/NPMG_2006.pdf

[ганка симеонова]

[houslex]

Добре .. на другите задачи някакви отговори да имате .. за сверяване ?