Частен случай на една много интересна редица (Франция 1998)

[Titu_Andrescu]

Да се намери формула за редицата, която е растяща и съдържа всички естествени числа, които не са квадрати на цяло число. (редицата на неквадратите)

[Реклама]

[problem_fucker]

Въобще няма да е трудно да се намери такава формула за всякакви строго монотонни растящи функции, на които знаем обратните. Миналата година се занимавах с тая задача и бях извел формулата някъде, ще проверя.

[problem_fucker]

А и май в германия бяха дали обратната задача

[Titu_Andrescu]

На мен ми е трудно въпреки, че съм я решавал много пъти тази задача. Щом не ти е трудно покажи ни как да си я изведем тази формула в дори в по-общия случаи -редицата на не k-тите степени, за дадено естествено число к.

[Titu_Andrescu]

Междо другото туко що видях, че задачата е публикувана и в CRUX 1993

[Titu_Andrescu]

Нали беше лесно?

[Мирослав Стоенчев]

Нека {x_n}, n=1,2,... e редицата на неквадратите, а {y_n} е броя
на точните квадрати в интервала [1,n].Тогава (y_n)²≤n и x_n=n+y_n, като трябва да бъде изпълнено (y_n)²<x_n<(y_n+1)²,т.е.
(y_n)²<n+y_n≤(y_n+1)²-1
Така получаваме (y_n-1/2)²<n<(y_n+1-1/2)² --> y_n<n^1/2+1/2<y_n+1.Понеже y_n е цяло,то y_n=[1/2+n^1/2], тук [z] означава най-голямото цяло число, което е по-малко или равно на z.Окончателно x_n=n+[1/2+√n].