Задача от примерна тема на УАСГ

[CeRRuTi]

Тази задача нещо ми се дърпа... Помогнете моля!

Ето я и задачата:

В триъгълник ABC са прекарани медианата CM с дължина m, височината CD с дължина h и ъглополовящата CL. Нека точка L е средата на DM. При стандартните означения за странитe и ъглите на триъгълник:
а) Да се намерят ab и a^{2 } + b^{2 } (a на квадрат плюс b на квадрат)
б) Да се докаже, че разстоянието CH от C до ортоцентъра H на триъгълника ABC е равно на удвоеното разстояние от центъра на описаната окръжност O до AB.

[Реклама]

[Tony_89]

На а) се получиха доста сложни сметки, ако някой има по-добри идеи, да дава .

а)

Нека a > b.

Кръщаваш AD = x.

[tex]h^{2} = b^{2} - x^{2} = a^{2} - (c - x)^{2}[/tex]

Получава се:

[tex]x = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2c}[/tex]

[tex]AL = \frac{bc}{a + b}, BL = \frac{ac}{a + b}[/tex]

По условие имаме DL = LM.

[tex]AL - AD = BL - BM[/tex]

[tex]\frac{bc}{a + b} - \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2c} = \frac{ac}{a + b} - \frac{c}{2}[/tex]

Получава се:

[tex]2c^{2} = (a + b)^{2}[/tex]

[tex]h^{2} = b^{2} - x^{2}[/tex]

[tex]h^{2} = b^{2} - (\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2c})^{2}[/tex]

Тук заместваме с полученото за c и се получава:

[tex]h^{2} = -\frac{a^{2} + b^{2} - 6ab}{8}[/tex]

[tex]m^{2} = \frac{2a^{2} + 2b^{2} - c^{2}}{4}[/tex]

Пак заместваме с c:

[tex]8m^{2} = 3a^{2} + 3b^{2} - 2ab[/tex]

Сега полагаме [tex]a^{2} + b^{2} = u[/tex] и [tex]ab = v[/tex] и се получава системата:

[tex]|h^{2} = -\frac{u - 6v}{8}[/tex]
[tex]|8m^{2} = 3u - 2v[/tex]

Поне системата се решава лесно .

б)

http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=2333

Тук има доста различни решения.