Предишната тема :: Следващата тема |
Автор |
Съобщение |
burzoopak Начинаещ
Регистриран на: 05 Jul 2008 Мнения: 5
|
Пуснато на: Sat Jul 05, 2008 7:26 pm Заглавие: Вероятно прост въпрос |
|
|
Здравейте. Имам въпрос относно задача 10 от втора примерна тема за СУ, качена на сайта на ФМИ:
От всички триъгълници с дадена основа а и връх [tex]\alpha[/tex] намерете ъглите при основата на този с най-голям периметър.
От синусова теорема излиза, че търсим за кои стойности на x и ( [tex]\pi[/tex]-[tex]\alpha[/tex]-x) sin(x) + sin( [tex]\pi[/tex]-[tex]\alpha[/tex]-x) е максимално. Т.е. по-общо: как се доказва, че ако сборът на два ъгъла е число, то sin [tex]\alpha[/tex] + sin [tex]\beta[/tex] е максимално, когато [tex]\alpha[/tex] = [tex]\beta[/tex] = числото/2 |
|
Върнете се в началото |
|
|
Реклама
|
Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
ObsCure Фен на форума
Регистриран на: 02 Jul 2007 Мнения: 990 Местожителство: Казанлък/Пловдив гласове: 28
|
Пуснато на: Sat Jul 05, 2008 7:36 pm Заглавие: |
|
|
Това,което си описал,е следствие от неравенството на Коши.Запознат ли си с неравенството или искаш обяснение по него?Ако имаш две неотрицателни числа a и b,в сила е
[tex]\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab} (a,b\ge0)[/tex]
като равенство се достига само при
[tex]a=b[/tex] |
|
Върнете се в началото |
|
|
burzoopak Начинаещ
Регистриран на: 05 Jul 2008 Мнения: 5
|
Пуснато на: Sat Jul 05, 2008 8:03 pm Заглавие: |
|
|
С неравенството на Коши би могла да се намери най малката стойност на сбора, нали? А все пак търсим максималната. |
|
Върнете се в началото |
|
|
ObsCure Фен на форума
Регистриран на: 02 Jul 2007 Мнения: 990 Местожителство: Казанлък/Пловдив гласове: 28
|
Пуснато на: Sat Jul 05, 2008 8:16 pm Заглавие: |
|
|
burzoopak написа: | С неравенството на Коши би могла да се намери най малката стойност на сбора, нали? А все пак търсим максималната. |
За да намериш минималната,трябва да имаш произведение.
Последната промяна е направена от ObsCure на Sat Jul 05, 2008 9:52 pm; мнението е било променяно общо 1 път |
|
Върнете се в началото |
|
|
nikolavp Фен на форума
Регистриран на: 20 Apr 2008 Мнения: 701
гласове: 13
|
Пуснато на: Sat Jul 05, 2008 8:35 pm Заглавие: |
|
|
burzoopak написа: | С неравенството на Коши би могла да се намери най малката стойност на сбора, нали? А все пак търсим максималната. | Интересното е, че тая задача не можах да я реша онзи ден, но сега се сетих . Ето ти решение:
Нека [tex]AC=c;BC=b;\angle CAB=x => \angle ABC=180^\circ-x-\alpha[/tex]
От синусовата теорема приложена два пъти получаваме:
[tex]b=\frac{a.sinx}{sin\alpha};c=\frac{a.sin(x+\alpha)}{sin\alpha}[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex]Тъй като едната страна е фиксирана, периметъра става най - голям когато [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] са най - големи
[tex]\Rightarrow P(x)=a+b=\frac{asinx}{sin\alpha}+\frac{a.sin(x+\alpha)}{sin\alpha}=a.sin\alpha[sinx+sin(x+\alpha)][/tex]Тъй като [tex]a.sin\alpha[/tex] пак е фиксирано гледаме само максимум на това в скобата
[tex]\Rightarrow f(x)=sinx+sin(x+\alpha) \Rightarrow f'(x)=cosx+cos(x+\alpha)=2cos-\frac{\alpha}{2}.\cos\frac{2x+\alpha}{2}=0 \\ \cos\frac{2x+\alpha}{2}=\cos(x+\frac{\alpha}{2})=0 \\ x=\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2} \\ x=\frac{\pi-\alpha}{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle CAB=x=\frac{\pi-\alpha}{2} \Rightarrow \angle ABC=180^\circ-\alpha-x=\pi-\frac{\pi+\alpha}{2}-\alpha=\frac{\pi-\alpha}{2} [/tex]
=> триъгълника е равнобедрен |
|
Върнете се в началото |
|
|
ObsCure Фен на форума
Регистриран на: 02 Jul 2007 Мнения: 990 Местожителство: Казанлък/Пловдив гласове: 28
|
Пуснато на: Sat Jul 05, 2008 8:52 pm Заглавие: |
|
|
С Коши:За да имаме максимум,достатъчно е
[tex]sinx=sin(x+\alpha)[/tex]
[tex]sinx-sin(x+\alpha)=0[/tex]
[tex]2cos(\frac{x+x+\alpha}{2})sin(\frac{x-x-\alpha}{2})=0[/tex]
Изразът със синус отпада.Остава
[tex]cos(\frac{2x+\alpha}{2})=0=cos90^\circ => \frac{2x+\alpha}{2} =90^\circ[/tex]
Оттук следва,че
[tex]x=\frac{\pi -\alpha}{2}[/tex] |
|
Върнете се в началото |
|
|
nikolavp Фен на форума
Регистриран на: 20 Apr 2008 Мнения: 701
гласове: 13
|
Пуснато на: Sat Jul 05, 2008 8:55 pm Заглавие: |
|
|
ObsCure написа: | С Коши:За да имаме максимум,достатъчно е
[tex]sinx=sin(x+\alpha)[/tex]
[tex]sinx-sin(x+\alpha)=0[/tex]
[tex]2cos(\frac{x+x+\alpha}{2})sin(\frac{x-x-\alpha}{2})=0[/tex]
Изразът със синус отпада.Остава
[tex]cos(\frac{2x+\alpha}{2})=0=cos90^\circ => \frac{2x+\alpha}{2} =90^\circ[/tex]
Оттук следва,че
[tex]x=\frac{\pi -\alpha}{2}[/tex] | За щалост това изобщо не е вярно . От къде разбра, че трябва да са равни, за да има екстремум? И човека правилно ти каза, Коши е за минимуми |
|
Върнете се в началото |
|
|
ObsCure Фен на форума
Регистриран на: 02 Jul 2007 Мнения: 990 Местожителство: Казанлък/Пловдив гласове: 28
|
Пуснато на: Sat Jul 05, 2008 8:58 pm Заглавие: |
|
|
Такам....равенството е обосновано именно от дефиницията за неравенството.Кой е казал,че Коши е само за минимуми?
P.S.По повод тази нотка,ще ти дам един пример
[tex]V=-\frac{16}{3}.\frac{cos2xcos_^{4}x}{sin_^{6}x}[/tex]
Пробвай се да намериш максимум на тази функция,тей като от горните постове съдя,че не смяташ да възможно прилагането на неравенството(при това въобще!) за тригонометрични функции.
Последната промяна е направена от ObsCure на Sat Jul 05, 2008 9:10 pm; мнението е било променяно общо 2 пъти |
|
Върнете се в началото |
|
|
nikolavp Фен на форума
Регистриран на: 20 Apr 2008 Мнения: 701
гласове: 13
|
Пуснато на: Sat Jul 05, 2008 9:01 pm Заглавие: |
|
|
ObsCure написа: | Такам....равенството е обосновано именно от дефиницията за неравенството.Кой е казал,че Коши е само за минимуми? | Еми защото е само за минимуми [tex]a+b\ge 2\sqrt{a.b}[/tex] с други думи имаш равенство, когато сбора на двете числа е най - малък. Дай да видим как получи това равенство де. Как от търсене на максимален сбор получи равенство между двете числа ? |
|
Върнете се в началото |
|
|
burzoopak Начинаещ
Регистриран на: 05 Jul 2008 Мнения: 5
|
Пуснато на: Sat Jul 05, 2008 9:29 pm Заглавие: |
|
|
Изразявайки периметъра, получаваш сбор, чийто максимум търсиш. Коши евентуално би ти помогнал да намериш минимума на този сбор, ако знаеш произведението. Неравенството на Коши не казва нищо за максимума на сбора. Благодаря ви за отговорите.
edit: Това беше в отговор на пост, който май е бил само в съзнанието ми. |
|
Върнете се в началото |
|
|
ObsCure Фен на форума
Регистриран на: 02 Jul 2007 Мнения: 990 Местожителство: Казанлък/Пловдив гласове: 28
|
Пуснато на: Sat Jul 05, 2008 9:33 pm Заглавие: |
|
|
Дам,ще се ходи до магазина за очила Е,грешката е ясна,забележките са взети в предвид.Брей,как получих верният отговор с грешни разсъждения ;D |
|
Върнете се в началото |
|
|
burzoopak Начинаещ
Регистриран на: 05 Jul 2008 Мнения: 5
|
Пуснато на: Sat Jul 05, 2008 9:49 pm Заглавие: |
|
|
ObsCure написа: | Брей,как получих верният отговор с грешни разсъждения ;D |
По-скоро прие наготово това, което се търси.
"Т.е. по-общо: как се доказва, че ако сборът на два ъгъла е число, то sin[tex]\alpha[/tex] + sin[tex]\beta[/tex] е максимално, когато [tex]\alpha[/tex] = [tex]\beta[/tex]" |
|
Върнете се в началото |
|
|
|