Неравенство с дроби

[Saposto_MM]

Докажете, че ако [tex]a_{1},a_{2},...,a_{n}[/tex] са реални положителни числа, то [tex]\frac{a_{1}}{a_{2}+a_{3}}+\frac{a_{2}}{a_{3}+a_{4}}+...+\frac{a_{n}}{a_{1}+a_{2}}\ge \frac{n}{2}[/tex].

[Реклама]

[ins-]

http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?search_id=1476363055&t=589

[Saposto_MM]

А може ли да ми кажеш защо [tex]\ge \frac{n}{4}[/tex]. Не е ли по-силно с [tex]\frac{n}{2}[/tex] или има такива числа, за който израза от ляво е по-малък от [tex]\frac{n}{2}[/tex] (нещо, което не би трябвало да е възможно). Имам неясноти. Ако може обясни.

[ins-]

Това е неравенство на Шапиро ...
Както можеш да видиш от линка по-долу в общия случай не е вярно.
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?search_id=1137544987&t=157209
с n/4 е давано в Русия през 1969 на олимпиада.
2005 е давано подобно неравенство в Молдова.
Решение на молдовското гледах преведено от списание "Квант".
Ако неизвестните са наредени - твоето неравенство е вярно.
Много близка константа за която неравенството е вярно е намерена от Дринфелд - K.(n/2).
Ако искаш разтърси се из mathlinks.ro има полезни неща.

[Saposto_MM]

Благодаря! Знам, че в www.mathlinks.ro има доста интересни неща. Тук обаче идва другият проблем - доста са! Ще прегледам за неща от рода.

[ins-]

Shapiro inequality
Drienfeld
Russia(n) inequality (1969)
Moldova 2005 inequality
можеш да ползваш като за начало.

[Saposto_MM]

Благодаря!