Красиво Неравенство

[Saposto_MM]

Ако [tex]x_{1},x_{2},...,x_{n}[/tex] са положителни числа по-малки от 1, докажете неравенството: [tex]\frac{1}{1-x_{1}^{n}}+\frac{1}{1-x_{2}^{n}}+...+\frac{1}{1-x_{n}^{n}}\ge \frac{n}{1-x_{1}x_{2}...x_{n}}[/tex]

[Реклама]

[JusTok]

От хубавото неравенство =>
[tex]\frac{1}{1-x^{n}_{1}}+\frac{1}{1-x^{n}_{2}}+... +\frac{1}{1-x^{n}_{n}}\ge \frac{n^2}{n-(x^{n}_{1}+x^{n}_{2}+..x^{n}_{n}) }[/tex]
[tex]\frac{n^2}{n-(x^{n}_{1}+x^{n}_{2}+..x^{n}_{n}) }\ge \frac{n}{1-x_{1}x_{2}...x_{n}}[/tex]
[tex]n(1-x_{1}x_{2}...x_{n})\ge n-(x^{n}_{1}+x^{n}_{2}+..x^{n}_{n})[/tex]
[tex]nx_{1}x_{2}...x_{n}\le x^{n}_{1}+x^{n}_{2}+..x^{n}_{n}[/tex]
Което следва от неравенството между средно аритметично и ср. геометрично

[martosss]

[JusTok]

Кое не ти е ясно?
На 1вия ред ползваме хубавото неравенство. Ако докажем втория,задачате е решена. На 3тия делим на n и се освобождаме от знаменателите.(Числата са положителни и по-малки от 1 следва знаменателите са положителни). На 4тия вадим n и умножаваме по -1.
После прилагаме неравенството между ср. геометрично и ср.аритметично.

[martosss]

[JusTok]

Май проблема е че не знаеш хубавото неравенство
Валидно за положителни числа
[tex]\sum_{i = 1}^{n}\frac {a_{i}^{2}}{b_{i}}\ge \frac {(\sum_{i = 1}^{n}a_{i})^{2}}{\sum_{i = 1}^{n}b_{i}}[/tex]

[martosss]

Мда, благодаря, всичко е ясно А това хубаво неравенство(наистина е хубаво ) може ли да си го използвам по олимпиадки, както СА>= СГ ?

Изобщо при такива задачи кои методи и неравенства по принцип се използват?

[Пафнутий]

[Пафнутий]