задача, която харесвам..

[ганка симеонова]

Точката Н е петата на височината през върха С на триъгълник АВС, CL е ъглополовяща, а [tex]cos\gamma =2sin\alpha sin\beta ; \alpha >\beta [/tex]
а) Докажете, че [tex]\angle LCH=45^\circ [/tex]
б)Ако [tex]CB=a; CA=b [/tex], изразете CL чрез а и b.
в)Ако [tex]BC=\sqrt{\sqrt{5}+1 } [/tex], докажете че [tex]S_{ABC}\le \sqrt{\sqrt{5}-2 } [/tex]

[Реклама]

[Руси Колев]

Моето логическо мислене ми подсказва, че задача, която на вас ви харесва няма да се хареса на мен, но ще опитам

Ето а):

[tex]\angle LCH=\alpha + \frac{\gamma }{2 }[/tex]

[tex]cos\gamma =2sin\alpha .sin(\alpha +\gamma )=>cos\gamma =cos\gamma -cos(2\alpha +\gamma )=>cos(2\alpha +\gamma )=1=> 2\alpha +\gamma=90^\circ => \alpha + \frac{\gamma }{2 }=45^\circ =\angle LCH [/tex]

Чертеж скоро

На б) след големи сметки, които след като проверя ще напиша, получих, че

[tex]CL=\frac{a^4.b}{(a-b)^2+a^3 } [/tex] Вярно ли е?

Edit:Реших отново "б)" и получих: [tex]CL=\frac{ab(1-a^2-b^2)}{1+2ab } [/tex]
Следващият опит ще е различен отново

[ObsCure]

а)По условие

[tex]cos\gamma=2sin(\alpha)sin\beta[/tex]

Кратък поглед към четиризначната таблица ни води до 'просветлението',че

[tex]sin(\alpha)sin\beta=\frac{1}{2}[(cos(\alpha-\beta)-cos(\alpha+\beta)][/tex]

Следователно

[tex]cos\gamma=2.\frac{1}{2}[cos(\alpha-\beta)+cos\gamma][/tex]

[tex]cos\gamma=cos(\alpha-\beta)+cos\gamma[/tex]

Оттук следва

[tex]cos(\alpha-\beta)=0=cos90^\circ => \alpha -\beta=90^\circ => \beta=\alpha-90^\circ[/tex]

[tex]\alpha+\beta+\gamma=180^\circ => 2\alpha+\gamma=270^\circ /: 2[/tex]

[tex]\alpha+\frac{\gamma}{2}=135^\circ[/tex]

Ако [tex]<ALC=x[/tex],то от [tex]\Delta[/tex]ALC имаме

[tex]\alpha+\frac{\gamma}{2}+x=180^\circ => 135^\circ+x=180^\circ => x=45^\circ[/tex]

откъдето следва,че

[tex]<LCH=45^\circ[/tex]

[Руси Колев]

Чертежът не ти е верен, защото [tex]\angle BAC>90^\circ [/tex], за да може между ъгл. и вис. да има 45°...

[ObsCure]

[Руси Колев]

[ObsCure]

[Руси Колев]

[Руси Колев]

Стига ги прави тия разкрачени чертежи CL така не ти е ъглополовяща! Трябва да направиш тъп ъгъл А, за а излезне отвън СН .

[ObsCure]

[Руси Колев]

[Руси Колев]

[ObsCure]

Леле,адските сметки!Не ги довърших,много тежки стават...

P.S.Е виж,и в това има доза стереометрия!Белким караш през България и попаднеш на някоя пищна мадама,чиито естетически....форми си заслужават анализиране

[LDV]

[tex]CL=\frac{\sqrt{2}ab}{\sqrt{4ab-a^2-b^2}}[/tex]

[ганка симеонова]

[ганка симеонова]

хайде бе, кандидат- студенти, какво стана?

[ObsCure]

б)От синусова теорема,приложена за ▲ALC ще получим

[tex]\frac{AL}{AC}=\frac{sin\gamma/2}{sin45^\circ}[/tex] => [tex]x=b\sqrt{2}sin(\frac{\gamma}{2})[/tex]

От свойството на ъглополовящата в ▲ABC можем да намерим и BL

[tex]BL=y=a\sqrt{2}sin(\frac{\gamma}{2})[/tex]

Сега заместваме във формулата за ъглополовящата

[tex]l_{c}=ab-xy[/tex]

[tex]l_{c}=ab-2absin^{2}(\frac{\gamma}{2})=ab(1-2sin^{2}(\frac{\gamma}{2}))=abcos\gamma[/tex]

Оттук използвайки

[tex]cos\gamma=2sin^{2}(\frac{\gamma}{2})-1[/tex]

изразяваме половинката косинус...

[tex]cos\frac{\gamma}{2}=\frac{\sqrt{l^{2}+ab}}{\sqrt{2ab}}[/tex]

Заместваме в споменатият израз

[tex]l_{c}=\frac{2ab}{a+b}cos(\frac{\gamma}{2})[/tex]

използваме полученото по-горе,след което изразяваме и CL.

P.S.Благодаря на Руси за чертежът,без него нямаше да се справя

[ганка симеонова]

[inspiron]

2 начин:

от подобието на [tex]\Delta AHC \approx \Delta CHB[/tex]

=> [tex]\frac{CH}{BH}=\frac{AH}{CH}=\frac{b}{a}[/tex] =>

[tex]AH=\frac{b}{a}.CH[/tex]

[tex]BH=\frac{a}{b}.CH[/tex]

от равенството за ъглополовящата имаме

[tex]LC^2=a.b. - AL.BL[/tex]

[tex]2CH^2=a.b- (CH - AH)(BH - CH)[/tex]

[tex]2CH^2=a.b- (CH- \frac{b}{a}.CH)(\frac{a}{b}.CH - CH)[/tex]

[tex]CH^2 (2+\frac{b}{a}-2+\frac{a}{b})=ab[/tex]

[tex]CH^2 \frac{a^2+b^2}{ab}=ab[/tex]

[tex]CH^2=\frac{(ab)^2}{a^2+b^2}[/tex]

=> [tex]CL^2=2.\frac{(ab)^2}{a^2+b^2}[/tex]

[tex]CL=\frac{\sqrt{2}.ab}{\sqrt{a^2+b^2} [/tex]

[inspiron]

За в) достигнах само до [tex]S< \frac{\sqrt{5}+1}{4}[/tex] Някой да дава предложения...

[ObsCure]

в)Подточката се свежда до екстремална задача,в която параметър е отсечката AL.Ще запазим означенията от преди.Знаем,че

[tex]AL=x=b\sqrt{2}sin(\frac{\gamma}{2})[/tex]

Оттук изразяваме b

[tex]b=\frac{x\sqrt{2}}{2sin(\frac{\gamma}{2})}[/tex]

По условие знаем,че

[tex]BC=a=\sqrt{\sqrt{5}+1}[/tex]

Сега изразяваме

[tex]sin(\frac{\gamma}{2})=\frac{x\sqrt{2}}{2b}[/tex]

От основното тригонометрично намираме и

[tex]cos(\frac{\gamma}{2})=\frac{\sqrt{2b^{2}-x^{2}}}{b\sqrt{2}}[/tex]

Пресмятаме

[tex]sin\gamma=2sin(\frac{\gamma}{2})cos(\frac{\gamma}{2})=\frac{x\sqrt{2b^{2}-x^{2}}}{b^{2}}[/tex]

Сега заместваме в следният израз

[tex]S=\frac{absin\gamma}{2}=\frac{(\sqrt{\sqrt{5}+1})(x\sqrt{2b^{2}-x^{2})}}{2b}[/tex]

Може да се изследва получената ф-я,и от резултатите за b да се прецени какво се 'случва' с лицето.