Конкурсна Задача 2, УАСГ

[eagle_fr]

Това е задача 2 от конкурсния изпит в УАСГ през 2004 година. Сигурно сте я решавали, но аз не мога да се преборя с в) , така че който може и има желание, моля да напише решенийце.

Трапец с остър ъгъл [tex]\varphi[/tex] е вписан в окръжност с радиус R, а в трапеца е вписана окръжност с радиус r.
а) Да се докаже, че [tex]\frac{R}{r}=\frac{sqrt{sin^2\varphi +1}}{sin^2\varphi}[/tex]
и [tex]\frac{R}{r}>\sqrt{2}[/tex]
b) Да се намери ъгълът [tex]\varphi[/tex] , когато [tex]\frac{R}{r} = \sqrt{6}[/tex] .

в) Нека [tex]\varphi_0[/tex] е този остър ъгъл, за който [tex]cos\varphi_0 =\frac{sqrt{5} - 1}{2}[/tex].
Да се докаже, че при [tex]\varphi <\varphi _0[/tex] центърът на описаната около трапеца окръжност е вън от трапеца.

[Реклама]

[Nona]

Означаваме [tex]BC=AD=c.[/tex] Тогава [tex]AB+CD=a+b=2c, \ AH=\frac{a+b}{2}=c.[/tex] От ▲HBC получаваме, че [tex]HB=c.\cos{\varphi}. [/tex]
[tex] AB=AH+HB=c(1+\cos{\varphi}).[/tex]
От синусова теорема за ▲АВС намираме [tex]AC=2R.\sin{\varphi}.[/tex]
[tex]R=\frac{AC}{2\sin{\varphi}}=\frac{\sqrt{CH^2+AH^2}}{2\sin{\varphi}}= \frac{\sqrt{c^2.\sin^2{\varphi}+c^2}}{2\sin\varphi}=\frac{c\sqrt{1+\sin^2\varphi}}{2\sin\varphi} \\ \Rightarrow BC=c=\frac{2R.\sin\varphi}{\sqrt{1+\sin^2\varphi}} \\ AB=\frac{2R.\sin\varphi}{\sqrt{1+\sin^2\varphi}}(1+\cos{\varphi})[/tex]

в) За да бъде центърът на описаната окръжност вън от трапеца, той трябва да е вън от ▲АВС, т.е. ▲АВС трябва да е тъпоъгълен, или АС²+ВС²<АВ².

[tex]4R^2.\sin^2{\varphi}+\frac{4R^2.\sin^2\varphi}{(1+\sin^2\varphi)}< \frac{4R^2.\sin^2\varphi}{(1+\sin^2\varphi)}(1+\cos{\varphi})^2 \\ (1+\sin^2\varphi)+1<(1+\cos{\varphi})^2 \\ 3-\cos^2\varphi<1+2\cos\varphi+\cos^2\varphi \\ \cos^2\varphi+\cos\varphi-1>0 \\ \left(\cos\varphi-\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\right)\left(\cos\varphi-\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)>0 \\ \Rightarrow \cos\varphi>\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\cos\varphi_0 \Leftrightarrow \varphi<\varphi_0[/tex]

[ObsCure]

б)По условие

[tex]\frac{\sqrt{sin^{2}\varphi+1}}{sin^{2}\varphi}=\sqrt{6}[/tex]

Повдигаме на 2-ра....

[tex]\frac{1+sin^{2}\varphi}{sin^{4}}=6[/tex]

Полагаме [tex]sin^{2}\varphi=t => 6t^{2}-t-1=0[/tex]
D=5²

Получаваме

[tex]t=\frac{1}{2}[/tex] => [tex]sin^{2}\varphi=\frac{1}{2}[/tex]

Ясно е,че търсеният ъгъл е

[tex]\varphi=45^\circ[/tex]

[eagle_fr]

Ахаа, хитро е това с неравенството на триъгълника. Не се бях сетила и сигурно и затова не съм я решила

EDIT: И все пак... няма ли и друго решение?