Изразяване на лице на триъгълник

[LDV]

Върху страните на остроъгълния [tex]\Delta ABC [/tex] външно са построени равностранни триъгълници с медицентрове M, N и P. Да се изрази лицето на триъгълника [tex]\Delta MNP [/tex] чрез лицето и ъглите на [tex]\Delta ABC [/tex]. Задачата мисля че съм я решавал но сега като се поразрових из архива я намерих отново и нещо не мога да се досетя за решението

[Реклама]

[martosss]

Е ми... чрез лицето и ъглите можеш ледно да изразиш страните на АВС, откъдето и страните на MNP(тях вече не толкова лесно ) И след това Херон за MNP ... не е шарено...
Тръгни така...
[tex]S=\frac{a^2sin\be\sin\gam}{2sin\alp}\Right a=\cdots[/tex]
Аналогично изразявааш и [tex]b[/tex] и [tex]c[/tex] и от там намираш R, ако О ти е център на оп. окр. изразяваш ОМ, ОN, OP, кос. теор. за да намериш трите страни на MNP и херон, не е лесно ама друг начин не виждам

[dilyana]

Всъщност, ▲MNP е равностранен така че ти трябва само едната му страна това се доказва лесно като знаеш, че окръжностите, описани около 3-те равностранни триъгълника се пресичат в 1 точка- Точката на Торичели. МОга да го напиша и по-подробно, но по-късно

[LDV]

Хмм всъщност ми хрумна това. Не е трудно намирането на MN,NP и MP. Косинусова за [tex]\Delta MCN ; \angle MCN=60^\circ + \gamma ; MC=\sqrt{\frac{b^2}{3}}; CN= \sqrt{\frac{a^2}{3}}[/tex]. Аналогично и за останалите страни. Мисля че не ми е нужен и R дори, но въпреки това накрая за лицето на [tex] \Delta MNP[/tex] се получава голяма грозотия с Херон . Иначе всичко си е както го искат

P.S. dilyana я поясни малко за тази точка и за равностранния [tex]\Delta MNP[/tex] че май досега не съм чувал за нея