Сервие,Ойлер...

[dilyana]

Някой може ли да докаже формулката на Сервие, че обема на пирамида е равен на произведението на дължините на 2 кръстосани ръба, разстоянието м/у тях, ъгълът м/у тях, цялото върху 6 .
Ммм другото, за което исках да попитам, беше пространствената формула на Ойлер (не че е много използваема, но не се знае все пак какво може да му потрябва на човек)
И последно: Да се докаже, че ъглополовящата равнина на двустенен ъгъл в тетраедър разделя срещуположния ръб на отсечки, чието отношение е както лицата на стените, определящи двустенния ъгъл.

Може и да ги има някъде из форума доказани, но не съм срещнала досега..

[Реклама]

[ObsCure]

След малко пускам доказателство за Сервие,а колкото до пространствената теорема на Ойлер

[tex]S+V-R=2[/tex]

където

[tex]S[/tex]-Броят на стените на изпъкнал многостен
[tex]V[/tex]-Броят на върховете на същият
[tex]R[/tex]-Броят на ръбовете му

[ObsCure]

Доказателство:Нека кръстосаните прави са p и q, и един от тетраедрите е ABCD,където A и B лежат на p,а C и D на q.Ще хлъзнем отсечката CD по q,като запазваме стойността на AB постоянна.Сега равнината на стената ACD на тетраедъра не се изменя.Не се променя и височината на тетраедъра през връх B,както и лицето на основата.Следователно обемът на тетраедъра е константа(същото се доказва и за AB ако я хлъзгаме по p).Установяваме,че след хлъзгането AC е оста-отсечка на правите p и q.Ще въведем следните означения

[tex]AC=d[/tex]

[tex]AB=m[/tex]

[tex]CD=n[/tex]

[tex]AB||AC[/tex]

[tex]AC||CD[/tex]

Лицето на правоъгълният ▲ABC с прав ъгъл при A е

[tex]S=\frac{1}{2}m.d[/tex]

Построяваме

[tex]AD_{1}||CD[/tex]

и

[tex]AD_{1}=CD=n[/tex]

И така,ACDD₁ е успоредник(в случаят е правоъгълник) и имаме

[tex]<D_{1}AB=\varphi[/tex]

Правата DD₁ е успоредна на стената ACB на тетраедъра и затова D и D₁ са на равни разстояния от тази стена.Тогава височината на тетраедъра,спусната от D е на разстояние [tex]h[/tex] от D₁ до правата AB.От полученият правоъгълен триъгълник имаме

[tex]h=n.sin\varphi[/tex]

Обемът на тетраедъра е

[tex]V=\frac{1}{3}S_{ABC}.h=\frac{1}{6}m.n.dsin\varphi[/tex]

[dilyana]

Мерси за Сервие ! Само че това първото не го разбрах Имах предвид тази формула:
d² = R² -2Rr- r²tg²[tex]\frac{180^\circ}{n}[/tex] където d е разстоянието м/у центровете на вписана и описана сфера в правилна n-ъгълна пирамида, а R и r са съответните радиуси.

[ObsCure]

[dilyana]

Води се като негова, това е сигурно, за друго не мога да споря

[ianikia]