Няколко задачи от четириъгълник

[nikolavp]

Ето някои интересни, които са ми за домашно

1. В четириъгълник дължината на единия диагонал е 30, а дължината на отсечките съединяваща страните на двойките срещуположни страни са 28 и 26. Да се намери дължината на другия диагонал и лицето на четириъгълника.

2. Четириъгълник ABCD. Диагоналите са [tex]\bot [/tex] и в него е вписана окръжност с радиус [tex]r[/tex] и около него е описана друга окръжност с радиус [tex]R[/tex]. Търси се [tex] S_{ABCD}=?[/tex]

3. В окръжност k и център точка [tex]O[/tex] и радиус [tex]R=\frac{19\sqrt{3}}{3}[/tex] е вписан четириъгълник [tex]ABCD[/tex] със страна [tex]AD=21[/tex]. Центърът [tex]J[/tex] на вписаната в [tex]\triangle ACD[/tex] окръжност лежи на [tex]BD[/tex] и точките [tex]A, C, O, J[/tex] лежат на една окръжност.
а) Да се докаже, че [tex]\angle CDA= 60^\circ[/tex]
b) Да се намерят страните и лицето на ABCD

Ще помоля някой ако може да реши 3b), защото успях да докажа, че [tex]\angle CDA=\frac{\pi}{3}[/tex] и до там

[Реклама]

[ганка симеонова]

ползвай, че DB-ъглополовяща, след като т.Jлежи на нея=>[tex]\angle ADB=\angle BCD=30^\circ ; AB=BC[/tex]
син.т-ма за ADB и откриваш AB; BC. по косинусова намираш DB и после в триъгълник DCBпак по косинусова- СВ. лицето е сбор от лицата на ADB; BCD

[nikolavp]

[martosss]

Тъй, ето го прословутия, неначертажимия чертеж Означаваме си [tex]\angle ADC=\alp\Right \stackrel{\rotatebox{90}{\big)}}{AC}_{ACD}=2\alp[/tex], тогава [tex]\angle AOC=2\alp[/tex] като централен ъгъл за [tex]k[/tex]. Освен това [tex]\angle CAD+\angle ACD=180^\circ - \alp\Right \angle AJC=180-\frac{(\angle DAC+\angle ACD)}{2}=180-(90-\frac{\alp}{2})=90+\frac{\alp}{2}[/tex]. Сега [tex]\angle AOC=\angle AJC=\frac{\stackrel{\rotatebox{90}{\Big)}}{AC}_{AOJC}}{2}\Right 2\alp=90+\frac{\alp}{2}\Right \alp=\angle ADC=60^\circ[/tex]

б) Тъй като [tex]BD[/tex] се явява ъглополовяща за [tex]\angle ADC[/tex], то [tex]\stackrel{\rotatebox{90}{\Big)}}{AB}=\stackrel{\rotatebox{90}{\Big)}}{BC}\Right \Del ABC[/tex] - равнобедрен. [tex]\angle ABC=180^\circ - \angle ADC=120^\circ\Right \angle BAC=\angle BCA=30^\circ[/tex]. Сега [tex]\Del ABC \equiv \Del AOC[/tex] по втори признак, тъй като имат равни ъгли и обща страна. От тук [tex]AB=BC=AO=OC=R=\frac{19\sqrt{3}}{3}[/tex]

Сега става злобно... тая страна СД докато я намеря ми са завъртя свят... [tex]sin\angle ACD=\frac{21\sqrt{3}}{38},\: cos\angle ACD=\frac{\sqrt{101}}{38},\: sin\angle CAD=sin(\angle ADC+\angle ACD)=\cdots = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{101}+1)}{72},\:[/tex]
[tex]\frac{CD}{sin\angle CAD}=2R\Right[/tex][tex]\red CD=\frac{\sqrt{101}+1}{2}[/tex]
[tex]S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{ACD}=\frac{R^2sin120^\circ}{2}+\frac{AD*DC*sin\angle ADC}{2}=\frac{19^2}{3*2}*\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{21*\frac{\sqrt{101}+1}{2}*\frac\sqrt{3}{2}}{2}[/tex] Много гадно изглежда

[nikolavp]

Странно аз намерих CD с една косинусова теорема за ACD и ми се получи 15 или 6 и не можах да изключа нито едното нито другото. Като намерих AC по една синусова за ACD.

[martosss]

[dilyana]

Аз ли правя олигофренски грешки или на първата задачка наистина се получават кофти отговори - 672 за лицето и 2[tex]\sqrt{505}[/tex] за диагонала

[nikolavp]

За лицето ти е така и за диагонала съответно

[ObsCure]

[ганка симеонова]

[dilyana]

мразя такива отговори. карат те да се съмняваш в решението и на най-простите задачи.

[nikolavp]

[ганка симеонова]

[martosss]

[martosss]

[tex](AB-AD)\cancel{(AB-AD)}=\cancel{(BC-DC)}(BC+DC)[/tex] ето ти я грешката Не се съкращават така, ако ги съкратиш правилно се получава a+b+c+d=0

[nikolavp]

[ганка симеонова]

[martosss]

[nikolavp]

[martosss]

[ганка симеонова]

[martosss]

[ганка симеонова]