Пробен изпит 29.06.2008 - УАСГ

[Руси Колев]

С благодарности към Sakata изтривам писаното от мен и слагам снимката, предоставена от него!

[Реклама]

[martosss]

[ObsCure]

1) На прима виста

a)x=2

б)[tex]a\in(-\infty;-\frac{1}{2})\cup(1;+\infty)[/tex]

в)За инфо-виж долу.

[ObsCure]

[Sakata]

Грешно ти е! пропуснал си [tex]2a-a-1\neq 1[/tex]

[nikolavp]

[ObsCure]

[Руси Колев]

[Sakata]

Ето и задачите

[nikolavp]

Като вземем предвид написаното по - горе нека направо я напишем в)
[tex]\frac{1}{log_{x}2a^2-a-1}=log_{x}|2a^2-a-1| \\ log^2_{x}2a^2-a-1=1 \\ 2a^2-a-1=x^{-1} \cup 2a^2-a-1=x^{1} \\ 2a^2-a-1=\frac{1}{x_{1}} \cup 2a^2-a-1=x_{2}[/tex]
От написаното по горе => [tex]x_{1}\ne x_{2}[/tex] Като ще отбележим, че те са равни само при x=1, което е изключено от ДС-то. Ясно се вижда, че двата корена са реципрочни => произведението им дава 1

[nikolavp]

[dilyana]

някой ако има нерви да напише трета.. евала

[Sakata]

На мен ми се сториха сравнително по-лесни от предишния.Но все още не са достигнали исктинската трудност на УАСГ. Задача 3-та беше просто много лесна. Ам незнам какво получавате за 2-ра б , но аз получих, че няма НГС лицето

[ганка симеонова]

сечението е успоредно на АВ и CM=>тази равнина пресича околните стени (ACM) и (BCM)в правите PK и LN успоредни на МС и основата (АВС) в права KN успоредна на АВ.
Тъй като във всяка правилна триъгълна пирамида двойка срещулежащи основен и околен ръб са перпендикулярни=>[tex]PK\bot KM=>KNLP[/tex]- правоъгълник.
[tex]\Delta TOM=>TO=r=hcotg\alpha =>AO=R=2r=2hcotg\alpha [/tex]
[tex]\Delta AOM=>AM=l=h\sqrt{4cotg^2\alpha +1} [/tex];[tex] AB=a=\frac{6r}{\sqrt{3} }=\frac{6hcotg\alpha }{\sqrt{3} } [/tex]
[tex]\Delta PLM\approx \Delta ABM=>PL=\frac{ap}{l } ;PK=AP=l-p=>S_{KNLP}=PL.PK.... [/tex]
в сечението може да се впише окръжност, когато то е квадрат=>изискваме [tex]PK=PL [/tex]
ъгълът м/у основата и сечението е [tex]\angle OCM=\beta ; \Delta OCM=>cotg\beta =\frac{R}{h }=\frac{2r}{h }=2cotg\alpha =>cos\beta =.... [/tex]

[Руси Колев]

[martosss]

[Sakata]

За лицето какво получи?

[nikolavp]

@martoss От DS-to имаш 2a^2-a-1 > 0
Иначе отгоре лявата страна ти има вида [tex]log_x|2a-1|+log_x|a-1|=log_x|2a-1|.|a-1|=log_x|2a^2-a-1|=log_x2a^2-a-1 [/tex]това последното дойде от ДС-то . После махаш знаменателя като в квадратно и имаш модула на втора = 1=> единия пат ти е 1, а другият път -1 . Все едно [tex]t^2=1 \\ t=1 \cup t=-1[/tex]. Натам ясно

[Руси Колев]

[Sakata]

[tex]\frac{sin^{2}{\alpha}}{sin\alpha + 1}[/tex]

[ObsCure]

[Sakata]

да ама в условието пише ,че [tex]\alpha[/tex] е остър => [tex]sin\alpha[/tex] e ot (0;1)

[ObsCure]

[ганка симеонова]

[ганка симеонова]

[Sakata]

Давай да видя къде бъркам аз от а) съм зел. И го проверих поне 3-пъти, невидях грешка

[2sxy4u]

От всичко изписано за реципрочността , как никой не дописа x=1/2 за а)

[martosss]

[Руси Колев]

[ганка симеонова]

а) означаваме[tex]AC=d_!; BD=d_2=>DP=\frac{d_2-x}{2 } [/tex]
[tex]\Delta ADC\approx \Delta MND=>\frac{DO}{DP }=\frac{AC}{MN } =>\frac{d_2-x}{ d_2}=\frac{x}{d_1 }=>.....=>\frac{1}{d_1 }+\frac{1}{d_2 }=\frac{1}{ x} [/tex]
от а=>[tex]x=\frac{d_1d_2}{d_1+d_2 } [/tex]от формулата за лице на ромб=>[tex]d_1d_2=2S=2a^2 sin\alpha=2cos^2\alpha sin\alpha [/tex]
[tex]x^2=\frac{d_1^2d_2^2}{d_1^2+d_2^2+2d_1d_2 }=\frac{4cos^4\alpha sin^2\alpha }{4cos^2\alpha +4cos^2\alpha sin\alpha }=\frac{cos^2\alpha sin^2\alpha }{1+sin\alpha }=\frac{(1-sin^2\alpha )sin^2\alpha }{1+sin\alpha }=(1-sin\alpha )sin^2\alpha =sin^2\alpha -sin^3\alpha [/tex]
[tex]f(\alpha )=sin^2\alpha -sin^3\alpha [/tex]полагаме [tex]sin\alpha =t\in (0;1) [/tex]
тогава търсим най- голяма стойност на ф-та [tex]g(t)=t^2-t^3 [/tex]
[tex]g^'(t)=2t-3t^2; g^'(t)=0=>t_1=0; t_2=\frac{2}{3 } [/tex]
в [tex]t\in (0;1), g(t)[/tex] има единствен екстремум, който е максимум и се достига при [tex]t=sin\alpha =\frac{2}{3 } [/tex]=> там ф-та има и НГС