Всерусийска олимпиада 1992-1993 г. 10-ти клас

[martosss]

Решете в положителни числа системата уравнения:
[tex]\left{x_1+\frac{1}{x_2}=4,\\x_2+\frac{1}{x_3}=1,\\x_3+\frac{1}{x_4}=4,\\\cdots\:\cdots\:\cdots\:\\x_{99}+\frac{1}{x_{100}}=4,\\x_{100}+\frac{1}{x_1}=1.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;[/tex] (А. Перлин)

[Реклама]

[ianikia]

Тази задача съм я решавала... отдавна, но с радост установих, че още помня решението й.

[Пафнутий]

Браво, много добро решение

[nikolavp]

Позволено ли е да се умножават неравенства в система, както е валидно това за уравненията ? Според мен това не е правилно
Пример:
[tex]\left.\begin{tabular}{|l} x>4 \\ x>1 \end{tabular}\right} => x\in (4;+\infty) [/tex]
Ако обаче умножим двете имаме [tex]x^2>4\\ x \in (-\infty;-2)\cup(2;+\infty)[/tex]

[ianikia]

И двете страни на неравенствата са положителни.
Четиризначни таблици (жълтичката) - стр. 35, най-долу:
"Ако a>0, b>0, c>0, d>0, то от a>b и c>d следва, че ac>bd."

[nikolavp]

[ianikia]

Най-напред трябва да сме сигурни, че двете страни на неравенствата са положителни.
И освен това, не бъркай "следва" с "еквивалентно". х²>4 е следствие. Това означава само, че то съдържа решенията на системата

[blqaa]

Какво гласи теоремата на Коши?
ПП. Извинявай, не я намерих в нета.

[Пафнутий]

Средно аритметично ≥ средно геометрично