Предишната тема :: Следващата тема |
Автор |
Съобщение |
ins- Фен на форума
Регистриран на: 03 Oct 2007 Мнения: 567 Местожителство: Роман, София гласове: 28
|
Пуснато на: Sun Jun 29, 2008 11:18 am Заглавие: известна задача |
|
|
В триъгълник с m, h, l са означени медианата, височината и ъглополовящата през един от върховете. Да се изрази чрез m, h и l радиусът на описаната около триъгълника окръжност.
|
|
Върнете се в началото |
|
|
Реклама
|
Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
martosss VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007 Мнения: 3937 Местожителство: Somewhere over the rainbow гласове: 213
|
Пуснато на: Sun Jun 29, 2008 11:40 am Заглавие: |
|
|
Имам идея
[tex]\begin{tabular}{|1}4m_c^2=2a^2+2b^2-2^2\\l^2=ab-\frac{abc^2}{(a+b)^2\\h_c=\frac{ab}{c}sin\gam\end{tabular}[/tex]
След като решим тази система иразяваме трите страни чрез дадените величини
После [tex]S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=pr[/tex] И от тук изразяваме радиуса
|
|
Върнете се в началото |
|
|
nikolavp Фен на форума
Регистриран на: 20 Apr 2008 Мнения: 701
гласове: 13
|
Пуснато на: Sun Jun 29, 2008 11:41 am Заглавие: |
|
|
martosss написа: | Имам идея
[tex]\begin{tabular}{|1}4m_c^2=2a^2+2b^2-2^2\\l^2=ab-\frac{abc^2}{(a+b)^2\\h_c=\frac{ab}{c}sin\gam\end{tabular}[/tex]
След като решим тази система иразяваме трите страни чрез дадените величини
После [tex]S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=pr[/tex] И от тук изразяваме радиуса | Около Мартос, около
|
|
Върнете се в началото |
|
|
martosss VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007 Мнения: 3937 Местожителство: Somewhere over the rainbow гласове: 213
|
Пуснато на: Sun Jun 29, 2008 11:50 am Заглавие: |
|
|
ААА, то било на описаната окръжност, тогава [tex]S=\frac{abc}{4R}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex]
Може и с [tex]\frac{a}{sin\alp}=2R=\frac{ab}{h}\Right R=\frac{ab}{2h}[/tex]
|
|
Върнете се в началото |
|
|
nikolavp Фен на форума
Регистриран на: 20 Apr 2008 Мнения: 701
гласове: 13
|
Пуснато на: Sun Jun 29, 2008 11:55 am Заглавие: |
|
|
martosss написа: | ААА, то било на описаната окръжност, тогава [tex]S=\frac{abc}{4R}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex]
Може и с [tex]\frac{a}{sin\alp}=2R=\frac{ab}{h}\Right R=\frac{ab}{2h}[/tex] | Много мазохистично го тръгваш
[tex]\frac{c}{sin\gamma}=2R => R=\frac{c}{sin\gamma}=> \frac{1}{R}=\frac{2sin\gamma}{c}(1) \\ \Rightarrow h_{c}=\frac{ab.sin\gamma}{c}.\frac{2}{2}=\frac{ab}{2R}[/tex]
Сега само трябва да си докарам a.b от твойта красива система. Но не знам как ще стане тоя номер
ЕДИТ: А сетил си се
|
|
Върнете се в началото |
|
|
martosss VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007 Мнения: 3937 Местожителство: Somewhere over the rainbow гласове: 213
|
Пуснато на: Sun Jun 29, 2008 11:59 am Заглавие: |
|
|
На второ четене се усетих, че може да изразим без големи главоболия МН и ML(където М, L и Н са пети съответно на медиана, ъглоп. и височина ) Но не знам после на къде да тръгна.. наистина ако успеем да изразим аб сме готови, но не бих казал че ще ни е лесно, особено ако тръгнеш по моя начин
|
|
Върнете се в началото |
|
|
ins- Фен на форума
Регистриран на: 03 Oct 2007 Мнения: 567 Местожителство: Роман, София гласове: 28
|
Пуснато на: Sun Jun 29, 2008 11:59 am Заглавие: |
|
|
Написах, че задачата е известна, защото съм я виждал някъде. Там беше решена с допълнителни построения, но и алгебричен подход ще е интересено да се види.
|
|
Върнете се в началото |
|
|
r2d2 VIP
Регистриран на: 28 Feb 2007 Мнения: 1936 Местожителство: in the galaxy (Far Far Away) гласове: 179
|
Пуснато на: Sun Jun 29, 2008 12:50 pm Заглавие: |
|
|
Много хубава задача е да се построи триъгълника по дадени m,l h.
|
|
Върнете се в началото |
|
|
martosss VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007 Мнения: 3937 Местожителство: Somewhere over the rainbow гласове: 213
|
Пуснато на: Sun Jun 29, 2008 1:03 pm Заглавие: |
|
|
r2d2 написа: | Много хубава задача е да се построи триъгълника по дадени m,l h. |
Е ми.. построяваме си някаква точка С, от нея си построяваме надолу височината СН(тя е дадена.)
Построяваме перпендикулярна права на СН през точка Н, която ни е правата, върху която лежи АВ.
Нанасяме си височината и медианата... и дотук
Сега остава да определим колко е страната с... трудна работа...
|
|
Върнете се в началото |
|
|
ins- Фен на форума
Регистриран на: 03 Oct 2007 Мнения: 567 Местожителство: Роман, София гласове: 28
|
Пуснато на: Sun Jun 29, 2008 1:03 pm Заглавие: |
|
|
m, l, h през един връх, или през 3 различни?
|
|
Върнете се в началото |
|
|
r2d2 VIP
Регистриран на: 28 Feb 2007 Мнения: 1936 Местожителство: in the galaxy (Far Far Away) гласове: 179
|
Пуснато на: Sun Jun 29, 2008 1:22 pm Заглавие: |
|
|
Говорех за през един връх, както е по-горе.
|
|
Върнете се в началото |
|
|
martosss VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007 Мнения: 3937 Местожителство: Somewhere over the rainbow гласове: 213
|
Пуснато на: Sun Jun 29, 2008 2:25 pm Заглавие: |
|
|
1. Избираме си произволна т. [tex]C[/tex] в равнината.
2. Чертаем отсечка [tex]CH[/tex] с дължина [tex]h[/tex].
3. През т. [tex]H[/tex] чертаем права [tex]p[/tex], перпендикулярна на [tex]CH[/tex].
4. Построяваме си отсечките [tex]CL[/tex] и [tex]CM[/tex] с дължини съответно [tex]l[/tex] и [tex]m[/tex] така, че единият край на отсечките е в т. [tex]C[/tex],
а другият край и на двете отсечки лежи върху правата [tex]p[/tex] и е от една и съща полуравнина спрямо [tex]CH[/tex].
5. Построяваме си права [tex]q[/tex] през т. [tex]M[/tex], която да е перпендикулярна на правата [tex]p[/tex] - тя ще ни бъде симетралата на [tex]AB[/tex].
6. Продължаваме Отсечката [tex]CL[/tex] до пресичането и с правата [tex]q[/tex] в т. [tex]P[/tex].
7. Начертаваме си симетралата на [tex]PC[/tex].
8. Нека симетралата на [tex]PC[/tex] пресича правата [tex]q[/tex] в точка [tex]O[/tex].
9. Чертаем си окръжнст [tex]k(O,OC)[/tex], която да пресича правата [tex]p[/tex] в
точки [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex].
10. Свързваме точките [tex]A[/tex], [tex]B[/tex] и [tex]C[/tex].
11. [tex]\Del ABC[/tex] е търсеният.
|
|
Върнете се в началото |
|
|
martosss VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007 Мнения: 3937 Местожителство: Somewhere over the rainbow гласове: 213
|
Пуснато на: Sun Jun 29, 2008 2:39 pm Заглавие: |
|
|
Така би трябвало да е по-добре
|
|
Върнете се в началото |
|
|
martosss VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007 Мнения: 3937 Местожителство: Somewhere over the rainbow гласове: 213
|
Пуснато на: Sun Jun 29, 2008 2:54 pm Заглавие: |
|
|
Благодаря, r2d2, наистина по този начин се решава и базовата задача. А за отговор получих [tex]R=\frac{l^2\sqrt{m^2-h^2}}{2h\sqrt{l^2-h^2}[/tex]
|
|
Върнете се в началото |
|
|
ins- Фен на форума
Регистриран на: 03 Oct 2007 Мнения: 567 Местожителство: Роман, София гласове: 28
|
Пуснато на: Sun Jun 29, 2008 3:14 pm Заглавие: |
|
|
Да ... а още по-добра задача е да се построи триъгълника, ако l, h, m са през различни върхове ... а колко нови задачи се получават, ако две от l, h, m са през различни върхове, а и колко нови задачи се получават, ако вместо да се построи триъгълника трябва да се намери някой негов елемент ... според мен това са много нови идеи, които биха могли да се използват за създаване на състезателни задачи...
|
|
Върнете се в началото |
|
|
martosss VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007 Мнения: 3937 Местожителство: Somewhere over the rainbow гласове: 213
|
Пуснато на: Sun Jun 29, 2008 3:23 pm Заглавие: |
|
|
Да ти кажа между построяването и намирането на елемент разликата не е много голяма, може би би било по-трудно ако трябва да се намери страна примерно, ама радиусът участва в построението и за това е сравнително лесно да се намери Иначе ако са през различни върхове наистина став интересно
|
|
Върнете се в началото |
|
|
martosss VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007 Мнения: 3937 Местожителство: Somewhere over the rainbow гласове: 213
|
Пуснато на: Thu Jul 03, 2008 2:42 pm Заглавие: |
|
|
Тъй като r2d2 ме нахока ще постна подробното решение на задачата
Нека имаме [tex]\Del ABC[/tex] и са ни дадени [tex]CH=h_c=h,\: CL=l_c=l,\: CM=m_c=m[/tex].
Освен това нека [tex]k[/tex] е описаната около [tex]\Del ABC[/tex] окръжност.
Нека [tex]CL\cap k=P[/tex] и [tex]S_{AB}\cap k=P'[/tex]. Тъй като [tex]CL\: - \: l_{\angle ACB}\Right \stackrel{\rotatebox{90}{\big)}}{AP}=\stackrel{\rotatebox{90}{\big)}}{BP}\Right AP=BP[/tex],
от друга страна обаче [tex]P'M\: \equiv\: S_{AB}[/tex] и от тук [tex]AP'=BP'[/tex], откъдето
[tex]\begin{tabular}{|1}P,P'\in k\\P,P'\in S_{AB}\end{tabular}\Right P\equiv P'\Right P\in k,\: P\in S_{AB},\: P\in \vec{CL}[/tex].
Нека т. [tex]O\in S_{AB}[/tex] и [tex]S_{PC}\cap S_{AB}=O\Right O\: -[/tex] център на оп. около [tex]ABC[/tex] окръжност,
тъй като лежи на симетралата на [tex]PC[/tex] и на симетралата на [tex]AB[/tex], където точките [tex]A,\: P,\: B\: u\: C[/tex] са от [tex]k[/tex].
Сега от питагоровата теорема за [tex]\Del LHC[/tex] и [tex]\Del MHC[/tex] намираме [tex]LH=\sqrt{l^2-h^2},\: MH=\sqrt{m^2-h^2}\Right ML=MH-LH=\sqrt{m^2-h^2}-\sqrt{l^2-h^2}[/tex].
Имаме [tex]MP=S_{AB}\Right MP\bot AB,\: CH=h_{AB}\Right CH\bot AB\Right MP || CH\Right[/tex]
[tex]\Right \angle MPL=\angle LCH=\alp,\: \angle PLM=\angle CLH[/tex](кръстни), откъдето [tex]\Del MLP\approx \Del HLC\Right \frac{PL}{LC}=\frac{ML}{LH}\Right [/tex]
[tex]\Right PL=\frac{l(\sqrt{m^2-h^2}-\sqrt{l^2-h^2})}{\sqrt{l^2-h^2}}[/tex]
[tex]PC=PL+LC=\cancel {l}+\frac{l\sqrt{m^2-h^2}}{\sqrt{l^2-h^2}}\cancel {-l}=\frac{l\sqrt{m^2-h^2}}{\sqrt{l^2-h^2}}[/tex]
Сега в [tex]\Del PCO[/tex] имаме [tex]OP=OC=R,\: \angle OPC=\alp[/tex]. От Косинусовата теорема за този триъгълник и [tex]\alp[/tex] получаваме
[tex]OC^2=OP^2+PC^2-2OP*PC*cos\alp\Right \cancel {R^2}=\cancel {R^2}+\frac{l^2(m^2-h^2)}{l^2-h^2}-2R\frac{\cancel l\sqrt{m^2-h^2}}{\sqrt{l^2-h^2}}*\frac{h}{\cancel l}\Right[/tex]
[tex]\Right 2Rh\cancel{\frac{\sqrt{m^2-h^2}}{\sqrt{l^2-h^2}}}=\frac{l^2(\sqrt{m^2-h^2})\cancel {^2}}{(\sqrt{l^2-h^2})\cancel {^2}}[/tex]
[tex]R=\frac{l^2\sqrt{m^2-h^2}}{2h\sqrt{l^2-h^2}}[/tex]
|
|
Върнете се в началото |
|
|
ins- Фен на форума
Регистриран на: 03 Oct 2007 Мнения: 567 Местожителство: Роман, София гласове: 28
|
Пуснато на: Thu Jul 03, 2008 3:27 pm Заглавие: |
|
|
Добра ли беше задачата?
|
|
Върнете се в началото |
|
|
martosss VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007 Мнения: 3937 Местожителство: Somewhere over the rainbow гласове: 213
|
Пуснато на: Thu Jul 03, 2008 3:36 pm Заглавие: |
|
|
ins- написа: | Добра ли беше задачата? |
е ми аз я реших още с помощта на r2d2, но ме мързеше да пиша решение(сам виждаш, че е половин час докато го надраскам...). Ама след като ме упрекнаха че само отговори давам се амбицирах да го напиша Иначе е хубава задачата наистина, трябва да пробвам ако са от различни ъгли, тогава ще стане голямо мазало
|
|
Върнете се в началото |
|
|
ins- Фен на форума
Регистриран на: 03 Oct 2007 Мнения: 567 Местожителство: Роман, София гласове: 28
|
Пуснато на: Thu Jul 03, 2008 4:29 pm Заглавие: |
|
|
Ако я добуташ с различни ъгли ще измислиш твоя задача и би могъл да я публикуваш някъде или да я предложиш за някой конкурс ... така се измислят нови задачи и се създават добри математици ...
|
|
Върнете се в началото |
|
|
r2d2 VIP
Регистриран на: 28 Feb 2007 Мнения: 1936 Местожителство: in the galaxy (Far Far Away) гласове: 179
|
Пуснато на: Thu Jul 03, 2008 8:33 pm Заглавие: |
|
|
Martoss, на няколко пъти се майтапя с Теоремата на Питагор и мисля, че ще убедиш - от тригонометрия, глава не боли!
[tex]\cos \mu = \frac{h}{l} \Rightarrow \sin \mu=\frac{\sqrt{l^2-h^2}}{l}\Rightarrow \sin 2\mu =\frac{2h\sqrt{l^2-h^2}}{l^2}[/tex]
[tex]MH=\sqrt{m^2-h^2}=OK[/tex]
[tex]\angle OCM=2\mu \Rightarrow OC=R=\frac{OK}{\sin 2\mu}\Rightarrow R=\frac{l^2\sqrt{m^2-h^2}}{2h\sqrt{l^2-h^2}}[/tex].
По същество твоето решение, ама ..
Важен факт, ъглополовящата разделя на две равни части ъгъла м/у ОС и СН.
Такива две прави се наричат изогонално спрегнати.
Задачата е от изпит в Московския Държавен Университет.
Description: |
|
Големина на файла: |
14.48 KB |
Видяна: |
1300 пъти(s) |
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
martosss VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007 Мнения: 3937 Местожителство: Somewhere over the rainbow гласове: 213
|
Пуснато на: Thu Jul 03, 2008 9:27 pm Заглавие: |
|
|
r2d2 написа: | Martoss, на няколко пъти се майтапя с Теоремата на Питагор и мисля, че ще убедиш - от тригонометрия, глава не боли!
[tex]\cos \mu = \frac{h}{l} \Rightarrow \sin \mu=\frac{\sqrt{l^2-h^2}}{l}\Rightarrow \sin 2\mu =\frac{2h\sqrt{l^2-h^2}}{l^2}[/tex]
[tex]MH=\sqrt{m^2-h^2}=OK[/tex]
[tex]\angle OC[/tex][tex]\red M[/tex][tex]=2\mu[/tex]. |
Тук вярвам че е К, и все пак това построение на МН е добро, а това с ъглополовящата и аз си го знам(макар че май беше само за правоъгълен триъгълник, за произволен не съм се опитвал да го докажа), но тук не видях как може да ми свърши работа
|
|
Върнете се в началото |
|
|
ins- Фен на форума
Регистриран на: 03 Oct 2007 Мнения: 567 Местожителство: Роман, София гласове: 28
|
Пуснато на: Thu Jul 03, 2008 9:28 pm Заглавие: |
|
|
Задачата е от много места - има я и в "Математически олимпиади/конкурси по света", но аз не я намерих там, а в Мрежата.
|
|
Върнете се в началото |
|
|
r2d2 VIP
Регистриран на: 28 Feb 2007 Мнения: 1936 Местожителство: in the galaxy (Far Far Away) гласове: 179
|
Пуснато на: Thu Jul 03, 2008 10:21 pm Заглавие: |
|
|
H или К разбира се!
Ти си го доказал бе, триъгълникът СОР нали е равнобедрен!
|
|
Върнете се в началото |
|
|
|