Регистрирайте сеРегистрирайте се

известна задача


 
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Sun Jun 29, 2008 11:18 am    Заглавие: известна задача

В триъгълник с m, h, l са означени медианата, височината и ъглополовящата през един от върховете. Да се изрази чрез m, h и l радиусът на описаната около триъгълника окръжност.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sun Jun 29, 2008 11:40 am    Заглавие:

Имам идея Laughing

[tex]\begin{tabular}{|1}4m_c^2=2a^2+2b^2-2^2\\l^2=ab-\frac{abc^2}{(a+b)^2\\h_c=\frac{ab}{c}sin\gam\end{tabular}[/tex]

След като решим тази система иразяваме трите страни чрез дадените величини

После [tex]S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=pr[/tex] И от тук изразяваме радиуса Twisted Evil
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
nikolavp
Фен на форума


Регистриран на: 20 Apr 2008
Мнения: 701

Репутация: 63.6
гласове: 13

МнениеПуснато на: Sun Jun 29, 2008 11:41 am    Заглавие:

martosss написа:
Имам идея Laughing

[tex]\begin{tabular}{|1}4m_c^2=2a^2+2b^2-2^2\\l^2=ab-\frac{abc^2}{(a+b)^2\\h_c=\frac{ab}{c}sin\gam\end{tabular}[/tex]

След като решим тази система иразяваме трите страни чрез дадените величини

После [tex]S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=pr[/tex] И от тук изразяваме радиуса Twisted Evil
Около Мартос, около Smile Laughing Laughing
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sun Jun 29, 2008 11:50 am    Заглавие:

ААА, то било на описаната окръжност, тогава [tex]S=\frac{abc}{4R}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex] Cool

Може и с [tex]\frac{a}{sin\alp}=2R=\frac{ab}{h}\Right R=\frac{ab}{2h}[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
nikolavp
Фен на форума


Регистриран на: 20 Apr 2008
Мнения: 701

Репутация: 63.6
гласове: 13

МнениеПуснато на: Sun Jun 29, 2008 11:55 am    Заглавие:

martosss написа:
ААА, то било на описаната окръжност, тогава [tex]S=\frac{abc}{4R}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex] Cool

Може и с [tex]\frac{a}{sin\alp}=2R=\frac{ab}{h}\Right R=\frac{ab}{2h}[/tex]
Много мазохистично го тръгваш Laughing Laughing
[tex]\frac{c}{sin\gamma}=2R => R=\frac{c}{sin\gamma}=> \frac{1}{R}=\frac{2sin\gamma}{c}(1) \\ \Rightarrow h_{c}=\frac{ab.sin\gamma}{c}.\frac{2}{2}=\frac{ab}{2R}[/tex]

Сега само трябва да си докарам a.b от твойта красива система. Но не знам как ще стане тоя номер Laughing Laughing

ЕДИТ: А сетил си се Embarassed Embarassed
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sun Jun 29, 2008 11:59 am    Заглавие:

На второ четене се усетих, че може да изразим без големи главоболия МН и ML(където М, L и Н са пети съответно на медиана, ъглоп. и височина Wink ) Но не знам после на къде да тръгна.. наистина ако успеем да изразим аб сме готови, но не бих казал че ще ни е лесно, особено ако тръгнеш по моя начин Laughing
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Sun Jun 29, 2008 11:59 am    Заглавие:

Написах, че задачата е известна, защото съм я виждал някъде. Там беше решена с допълнителни построения, но и алгебричен подход ще е интересено да се види.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Sun Jun 29, 2008 12:50 pm    Заглавие:

Много хубава задача е да се построи триъгълника по дадени m,l h.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sun Jun 29, 2008 1:03 pm    Заглавие:

r2d2 написа:
Много хубава задача е да се построи триъгълника по дадени m,l h.


Е ми.. построяваме си някаква точка С, от нея си построяваме надолу височината СН(тя е дадена.)
Построяваме перпендикулярна права на СН през точка Н, която ни е правата, върху която лежи АВ.
Нанасяме си височината и медианата... и дотук Laughing
Сега остава да определим колко е страната с... трудна работа...
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Sun Jun 29, 2008 1:03 pm    Заглавие:

m, l, h през един връх, или през 3 различни?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Sun Jun 29, 2008 1:22 pm    Заглавие:

Говорех за през един връх, както е по-горе.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sun Jun 29, 2008 2:25 pm    Заглавие:

1. Избираме си произволна т. [tex]C[/tex] в равнината.

2. Чертаем отсечка [tex]CH[/tex] с дължина [tex]h[/tex].

3. През т. [tex]H[/tex] чертаем права [tex]p[/tex], перпендикулярна на [tex]CH[/tex].

4. Построяваме си отсечките [tex]CL[/tex] и [tex]CM[/tex] с дължини съответно [tex]l[/tex] и [tex]m[/tex] така, че единият край на отсечките е в т. [tex]C[/tex],
а другият край и на двете отсечки лежи върху правата [tex]p[/tex] и е от една и съща полуравнина спрямо [tex]CH[/tex].

5. Построяваме си права [tex]q[/tex] през т. [tex]M[/tex], която да е перпендикулярна на правата [tex]p[/tex] - тя ще ни бъде симетралата на [tex]AB[/tex].

6. Продължаваме Отсечката [tex]CL[/tex] до пресичането и с правата [tex]q[/tex] в т. [tex]P[/tex].

7. Начертаваме си симетралата на [tex]PC[/tex].

8. Нека симетралата на [tex]PC[/tex] пресича правата [tex]q[/tex] в точка [tex]O[/tex].

9. Чертаем си окръжнст [tex]k(O,OC)[/tex], която да пресича правата [tex]p[/tex] в
точки [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex].

10. Свързваме точките [tex]A[/tex], [tex]B[/tex] и [tex]C[/tex].

11. [tex]\Del ABC[/tex] е търсеният. Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sun Jun 29, 2008 2:39 pm    Заглавие:

Така би трябвало да е по-добре Confused
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sun Jun 29, 2008 2:54 pm    Заглавие:

Благодаря, r2d2, наистина по този начин се решава и базовата задача. А за отговор получих [tex]R=\frac{l^2\sqrt{m^2-h^2}}{2h\sqrt{l^2-h^2}[/tex] Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Sun Jun 29, 2008 3:14 pm    Заглавие:

Да ... а още по-добра задача е да се построи триъгълника, ако l, h, m са през различни върхове ... а колко нови задачи се получават, ако две от l, h, m са през различни върхове, а и колко нови задачи се получават, ако вместо да се построи триъгълника трябва да се намери някой негов елемент ... според мен това са много нови идеи, които биха могли да се използват за създаване на състезателни задачи...
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sun Jun 29, 2008 3:23 pm    Заглавие:

Да ти кажа между построяването и намирането на елемент разликата не е много голяма, може би би било по-трудно ако трябва да се намери страна примерно, ама радиусът участва в построението и за това е сравнително лесно да се намери Wink Иначе ако са през различни върхове наистина став интересно Laughing
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Thu Jul 03, 2008 2:42 pm    Заглавие:

Тъй като r2d2 ме нахока ще постна подробното решение на задачата Laughing

Нека имаме [tex]\Del ABC[/tex] и са ни дадени [tex]CH=h_c=h,\: CL=l_c=l,\: CM=m_c=m[/tex].
Освен това нека [tex]k[/tex] е описаната около [tex]\Del ABC[/tex] окръжност.

Нека [tex]CL\cap k=P[/tex] и [tex]S_{AB}\cap k=P'[/tex]. Тъй като [tex]CL\: - \: l_{\angle ACB}\Right \stackrel{\rotatebox{90}{\big)}}{AP}=\stackrel{\rotatebox{90}{\big)}}{BP}\Right AP=BP[/tex],
от друга страна обаче [tex]P'M\: \equiv\: S_{AB}[/tex] и от тук [tex]AP'=BP'[/tex], откъдето
[tex]\begin{tabular}{|1}P,P'\in k\\P,P'\in S_{AB}\end{tabular}\Right P\equiv P'\Right P\in k,\: P\in S_{AB},\: P\in \vec{CL}[/tex].

Нека т. [tex]O\in S_{AB}[/tex] и [tex]S_{PC}\cap S_{AB}=O\Right O\: -[/tex] център на оп. около [tex]ABC[/tex] окръжност,
тъй като лежи на симетралата на [tex]PC[/tex] и на симетралата на [tex]AB[/tex], където точките [tex]A,\: P,\: B\: u\: C[/tex] са от [tex]k[/tex].

Сега от питагоровата теорема за [tex]\Del LHC[/tex] и [tex]\Del MHC[/tex] намираме [tex]LH=\sqrt{l^2-h^2},\: MH=\sqrt{m^2-h^2}\Right ML=MH-LH=\sqrt{m^2-h^2}-\sqrt{l^2-h^2}[/tex].

Имаме [tex]MP=S_{AB}\Right MP\bot AB,\: CH=h_{AB}\Right CH\bot AB\Right MP || CH\Right[/tex]
[tex]\Right \angle MPL=\angle LCH=\alp,\: \angle PLM=\angle CLH[/tex](кръстни), откъдето [tex]\Del MLP\approx \Del HLC\Right \frac{PL}{LC}=\frac{ML}{LH}\Right [/tex]
[tex]\Right PL=\frac{l(\sqrt{m^2-h^2}-\sqrt{l^2-h^2})}{\sqrt{l^2-h^2}}[/tex]

[tex]PC=PL+LC=\cancel {l}+\frac{l\sqrt{m^2-h^2}}{\sqrt{l^2-h^2}}\cancel {-l}=\frac{l\sqrt{m^2-h^2}}{\sqrt{l^2-h^2}}[/tex]

Сега в [tex]\Del PCO[/tex] имаме [tex]OP=OC=R,\: \angle OPC=\alp[/tex]. От Косинусовата теорема за този триъгълник и [tex]\alp[/tex] получаваме
[tex]OC^2=OP^2+PC^2-2OP*PC*cos\alp\Right \cancel {R^2}=\cancel {R^2}+\frac{l^2(m^2-h^2)}{l^2-h^2}-2R\frac{\cancel l\sqrt{m^2-h^2}}{\sqrt{l^2-h^2}}*\frac{h}{\cancel l}\Right[/tex]
[tex]\Right 2Rh\cancel{\frac{\sqrt{m^2-h^2}}{\sqrt{l^2-h^2}}}=\frac{l^2(\sqrt{m^2-h^2})\cancel {^2}}{(\sqrt{l^2-h^2})\cancel {^2}}[/tex]

[tex]R=\frac{l^2\sqrt{m^2-h^2}}{2h\sqrt{l^2-h^2}}[/tex] Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Thu Jul 03, 2008 3:27 pm    Заглавие:

Smile Добра ли беше задачата?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Thu Jul 03, 2008 3:36 pm    Заглавие:

ins- написа:
Smile Добра ли беше задачата?

е ми аз я реших още с помощта на r2d2, но ме мързеше да пиша решение(сам виждаш, че е половин час докато го надраскам...). Ама след като ме упрекнаха че само отговори давам се амбицирах да го напиша Laughing Иначе е хубава задачата наистина, трябва да пробвам ако са от различни ъгли, тогава ще стане голямо мазало Confused
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Thu Jul 03, 2008 4:29 pm    Заглавие:

Ако я добуташ с различни ъгли ще измислиш твоя задача и би могъл да я публикуваш някъде или да я предложиш за някой конкурс ... така се измислят нови задачи и се създават добри математици ...
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Thu Jul 03, 2008 8:33 pm    Заглавие:

Martoss, на няколко пъти се майтапя с Теоремата на Питагор и мисля, че ще убедиш - от тригонометрия, глава не боли!
[tex]\cos \mu = \frac{h}{l} \Rightarrow \sin \mu=\frac{\sqrt{l^2-h^2}}{l}\Rightarrow \sin 2\mu =\frac{2h\sqrt{l^2-h^2}}{l^2}[/tex]
[tex]MH=\sqrt{m^2-h^2}=OK[/tex]
[tex]\angle OCM=2\mu \Rightarrow OC=R=\frac{OK}{\sin 2\mu}\Rightarrow R=\frac{l^2\sqrt{m^2-h^2}}{2h\sqrt{l^2-h^2}}[/tex].

По същество твоето решение, ама ..

Важен факт, ъглополовящата разделя на две равни части ъгъла м/у ОС и СН.
Такива две прави се наричат изогонално спрегнати.

Задачата е от изпит в Московския Държавен Университет.



martoss_cr.jpg
 Description:
 Големина на файла:  14.48 KB
 Видяна:  1300 пъти(s)

martoss_cr.jpg


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Thu Jul 03, 2008 9:27 pm    Заглавие:

r2d2 написа:
Martoss, на няколко пъти се майтапя с Теоремата на Питагор и мисля, че ще убедиш - от тригонометрия, глава не боли!
[tex]\cos \mu = \frac{h}{l} \Rightarrow \sin \mu=\frac{\sqrt{l^2-h^2}}{l}\Rightarrow \sin 2\mu =\frac{2h\sqrt{l^2-h^2}}{l^2}[/tex]
[tex]MH=\sqrt{m^2-h^2}=OK[/tex]
[tex]\angle OC[/tex][tex]\red M[/tex][tex]=2\mu[/tex].

Тук вярвам че е К, и все пак това построение на МН е добро, а това с ъглополовящата и аз си го знам(макар че май беше само за правоъгълен триъгълник, за произволен не съм се опитвал да го докажа), но тук не видях как може да ми свърши работа Confused
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Thu Jul 03, 2008 9:28 pm    Заглавие:

Задачата е от много места - има я и в "Математически олимпиади/конкурси по света", но аз не я намерих там, а в Мрежата.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Thu Jul 03, 2008 10:21 pm    Заглавие:

H или К разбира се!
Ти си го доказал бе, триъгълникът СОР нали е равнобедрен!
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.