Неподвижна точка

[Мирослав Стоенчев]

Задача. Нека [tex]f:[a,b]\to [a,b][/tex] е диференцируема функция със свойството: [tex]\max_{x\in [a,b]}\ |f'(x)|<1.[/tex] Да се докаже, че уравнението [tex]f(x)=x[/tex] има единствено решение в интервала [tex][a,b].[/tex]

[Реклама]

[2sxy4u]

Пфу, за мен даже условието е непонятно , някой да помага

[kgavrailov]

Трябва преди това да докажеш следната:
Лема : Ако f е непрекъснато изображение в себе си(в някакъв интервал [a,b]), тогава x има неподвижна точка в този интервал.
д-во:
Доказателството следва непосредствено от една теорема от топологията, според която вяко непркъснато множество в Rⁿ в себе си има неподвижна точка.

Сега доказателството на задачката :

От лемата => че f има поне една неподвижна точка. Да допуснем че те са повече. Нека
θ₁ = f(θ₁) и θ₂ = f(θ₂)
за някои θ₁ ≠ θ₂ принадлежащи на интервала [a,b]
Тогава:
|θ₁ - θ₂| = |f(θ₁) - f(θ₂)| ≤
≤ q|θ₁ - θ₂| (q=const<1)
< |θ₁ - θ₂|
което е практически невъзможно . => Тита 1 и Тита 2 съвпадат
Надявам се да ти свърши работа.
С малко допълнение към задачката ще се получи метода на свиващите се изображения, който се използва в численото решаване на уравнения