АР е медиана

[r2d2]

На картинката АL е ъглополовяща. Окръжността к се допира до ВС в L, минава през А и пресича АВ в К. СК пресича к в Р. АР пресича ВС в М.

Докажете, че СМ=МL.

[Реклама]

[ганка симеонова]

от свойството на секуща и допирателна=>[tex]CT.CA=CL^2; BK.BA=BL^2[/tex]
[tex]\frac{CL}{BL }=\frac{AC}{AB }=> CT.CA=AC^2; BK.BA=AB^2 [/tex]- делим почленно тези равенства и получаваме:

[tex]\frac{CT }{AC}=\frac{BK }{AB}=>TK//CB [/tex]Построяваме HL- медиана в равнобдрения триъгълник TLK. [tex]HM\cap TL=S [/tex]

[tex]\Delta TSK\approx \Delta CSL=>\frac{TS}{ SL}=\frac{TK}{CL }=\frac{2TH}{CL } [/tex];[tex]\Delta THS\approx \Delta MSL=>\frac{TH}{ML }=\frac{TK}{CL } =>\frac{TH}{ML }=\frac{2TH}{CL }=>CL=2ML [/tex]

[r2d2]

Не ми е ясно! Нека и някой друг с пробва!

[Nona]

<KPL - външен за ▲PLC => <KPL=<PLC+<PCL=<TAL=<TAP+<PAL => <PCL=<TAP

От теоремата на Менелай за ▲DLC и правата АМ

[tex]\Rightarrow CM.PD.AL=ML.CP.AD \\ \frac{ML}{CM}=\frac{PD.AL}{AD.\fbox{CP}}=^{(1)}\frac{PD.AL.CK}{AD.CL^2}=^{(2)} \frac{PD.AL}{AD.CL}.\frac{LT}{PL}=^{(3)}\frac{AD.AL.LK}{AK.CL.AD}=^{(4)}1[/tex]

[tex](1) \ \ CL^2=CP.CK \\ (2) \ \ \triangle CLK \sim \triangle LTP \Rightarrow \frac{CK}{CL}=\frac{LT}{PL} \\ (3) \ \ \triangle PDL \sim \triangle ADK \Rightarrow \frac{PD}{PL}=\frac{AD}{AK}; \ \triangle TKL: \ LT=LK \\ (4) \ \ \triangle ALC \sim \triangle AKL \Rightarrow \frac{AL}{AK}=\frac{CL}{LK}[/tex]

[r2d2]

Ще ползвам картинката на Нона:

[tex]\angle CLT = \angle TAL = \angle LAK =\angle LTK \Rightarrow KT || BC \Rightarrow \angle PCL = \angle TKP =\angle TAP[/tex]

[tex]\Delta CMP \sim \Delta AMC \Rightarrow \frac {MP}{MC}=\frac {MC}{MA} \Rightarrow MC^2=MA.MP=ML^2.[/tex]