*задача от неизтеглен вариант за УАСГ

[ганка симеонова]

В триъгълник АВС е вписана окръжност, която се допира до страните АВ, ВС и СА съответно в точките P, Q, R. Нека QL и RM са височини в [tex]\Delta PQR; AP=LM=d; \angle ACB=\gamma [/tex]
a) да се пресметне периметърът на триъгълник АВС
б)за коя стойност на [tex]\gamma [/tex] този периметър е най- голям?

[Реклама]

[nikolavp]

Нека О е центъра на окръжността;=> [tex]r_{ABC}=R_{PRQ};\angle RPQ=90^\circ-\frac{\gamma}{2}=> \frac{LM}{RQ}=cos(90-\frac{\gamma}{2}=> [/tex]
[tex]\left. RQ=\frac{LM}{\sin\frac{\gamma}{2}} \\ \triangle RPQ => \frac{RQ}{\sin(90-\frac{\gamma}{2})}=2R => R=\frac{RQ}{2\cos\frac{\gamma}{2} \right} => R=\frac{LM}{sin\gamma}=r_{ABC}[/tex]
[tex]\triangle COR: cotg\frac{\gamma}{2}=\frac{RC}{r}=> RC=CQ=cotg\frac{\gamma}{2}.r[/tex](който иска да го опростява, но не става по - хубаво )
Сега означаваме PB=QB=x. Правим една косинусова теорема за ABC и след това от формулата за лице изразяваме полупериметъра, но става много сметки

[ObsCure]

Можем да използваме и,че

[tex]d=p-a[/tex]

както и показаното по-горе ;D

[nikolavp]

Това не беше ли валидно само за правоъгълни триъгълници и допирателната отсечка само срещу хипотенузата ?

[martosss]

не беше Нали СQ=CR и BP=BQ, опитай се да сметнеш колко е AB+AC-BC)/2, изразено чрез малките отсечки

[ObsCure]

[nikolavp]

[dilyana]

[nikolavp]

[martosss]

Аз получих, че AP=AR=d, CR=CQ=[tex]\frac{dcotg\frac{\gam}{2}}{sin\gam}[/tex] и сета означавам ВР=BQ=х и свойство за ъглополовящата - BQ/QC=AB/AC и от тук намирам Х

П.п. Същият отговор като на никола се получава - [tex]\frac{d}{1-cos\gam}[/tex]

[ObsCure]

[tex]1-cos\gamma=2sin_^{2}\frac{\gamma}{2}[/tex]...

[nikolavp]

[ObsCure]

[tex]P=2d+\frac{d}{sin_^{2}\frac{\gamma}{2}}+4sin_^{2}\frac{\gamma}{2}[/tex]

P.S. С Коши става

[tex]\frac{1}{1-cos\gamma}=1-cos\gamma[/tex]

[tex](1-cos\gamma)_^{2}=1 =>\gamma=90^\circ[/tex]

т.е. правоъгълен.

[nikolavp]

[ObsCure]

[tex]BP=BQ=x=2sin_^{2}\frac{\gamma}{2}[/tex]

[martosss]

[ObsCure]

[martosss]

е ми после ще помисля пак, вие през това време умувайте върху задачата на r2d2 и на ins

[zabeto]

Успех бъдещи колеги

[nikolavp]

Нека [tex]RC=CQ=y=\frac{d}{1-cos\gamma};PB=BQ=x[/tex] =>
[tex]\triangle ABC[/tex]:
[tex]AB^2=AC^2+BC^2-2cos\gamma.AC.BC \\ (d+x)^2=(d+y)^2+(x+y)^2-2cos\gamma(d+y)(y+x) \\ \cancel{d^2}+2xd+\cancel{x^2}=\cancel{d^2}+2dy+y^2+\cancel{x^2}+2xy+y^2-2cos\gamma(dy+y^2+xd+yx) \\ 2xd=2dy+2y^2+2xy-2cos\gamma(dy+y^2+xd+yx) /:2 \\ xd-xy+cos\gamma .xd+cos\gamma .yx=dy+y^2-cos\gamma .dy-cos\gamma .y^2 \\ x(d-y+cos\gamma .d+ cos\gamma .y)=dy(1-cos\gamma)+y^2(1-cos\gamma) \\ x(d-y+cos\gamma .d+cos\gamma .y)=(1-cos\gamma)y.(d+y) \\ x(d-\frac{d}{1-cos\gamma}+cos\gamma.d+\frac{cos\gamma.d}{1-cos\gamma})=\cancel{(1-cos\gamma)}\frac{d}{\cancel{1-cos\gamma}}(d+\frac{d}{1-cos\gamma}) /:d \\ x(\frac{\cancel{1}\cancel{-cos\gamma}\cancel{-1}\cancel{+cos\gamma}-\cos^2\gamma+cos\gamma}{1-cos\gamma})=d.\frac{1-cos\gamma+1}{1-cos\gamma} /. (1-cos\gamma)\ne 0 \\ xcos\gamma(1-cos\gamma)=d(2-cos\gamma)[/tex]
[tex]cos\gamma=0 => 0=2d=> d=0[/tex], но [tex]d>0[/tex] => [tex]cos\gamma\ne0[/tex] =>
[tex]xcos\gamma(1-cos\gamma)=d(2-cos\gamma) /: cos\gamma(1-cos\gamma)\ne0 \\ x=\frac{d(2-cos\gamma)}{cos\gamma(1-cos\gamma)}[/tex]
[tex]\Rightarrow P=2y+2x+2d=\frac{2d}{1-cos\gamma}+\frac{2d(2-cos\gamma)}{cos\gamma(1-cos\gamma)}+2d=2d(\frac{1}{1-cos\gamma}+\frac{2-cos\gamma}{cos\gamma(1-cos\gamma)}+1)=2d(\frac{\cancel{cos\gamma}+2\cancel{-cos\gamma}+cos\gamma-\cos^2\gamma}{cos\gamma(1-cos\gamma)})= \\=2d(\frac{2+cos\gamma(1-cos\gamma)}{cos\gamma(1-cos\gamma)})=2d(\frac{2}{cos\gamma(1-cos\gamma)}+1)[/tex]
оттук нататък не мога да докарам максимум на периметъра, защото получавам, че той има само минимум (при [tex]cos\gamma(1-cos\gamma);\gamma\in (0;\frac{\pi}{2})\cup (\frac{\pi}{2};\pi)[/tex] най - голямо). Все пак го писах на леко пияна глава(снощи), но мисля, че е вярно

[yovo]

Аз го решавам без косинусова.Намирам ,че r=d\sin[tex]\gamma[/tex] ,а p=S\r
S=absin[tex]\gamma[/tex] \2

p-a=d => a=p-d
b=d+CR и заместваме :
p=(p-d)(d+CR)sin[tex]\gamma[/tex]\2 ,a CR=CQ=d\2sin[tex]\gamma[/tex] ²

и от тук изразяваме p
ако някой разбра нещо въобще...