 Регистрирайте се
задача от неизтеглен вариант за УАСГ
|
| Предишната тема :: Следващата тема |
| Автор |
Съобщение |
ганка симеонова
SUPER VIP
Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
  
гласове: 298
|
 Пуснато на: Sat Jun 28, 2008 4:01 pm Заглавие: задача от неизтеглен вариант за УАСГ |
|
|
Дадена е системата
[tex]sin^2x+cos^2y-z=0 [/tex]
[tex]z-2sinx+cosy=c [/tex]
където с е реален параметър.
а) за кои стойности на с системата има поне едно решение?
б) да се реши системата при [tex]c=-\frac{5}{ 4} [/tex] |
|
| Върнете се в началото |
|
 |
Реклама
|
| Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
martosss
VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
гласове: 213
|
| Пуснато на: Sat Jun 28, 2008 4:23 pm Заглавие: Re: задача от неизтеглен вариант за УАСГ |
|
|
| ганка симеонова написа: | Дадена е системата
[tex]sin^2x+cos^2y-z=0 [/tex]
[tex]z-2sinx+cosy=c [/tex]
където с е реален параметър.
а) за кои стойности на с системата има поне едно решение?
б) да се реши системата при [tex]c=-\frac{5}{ 4} [/tex] |
Нека изразим [tex]z[/tex]От първото у-е и заместим във второто. Получаваме:
[tex]\begin{tabular}{|1}z=sin^2x+cos^2y\\sin^2x+cos^2x-2sinx+cosy=c\end{tabular}[/tex]
[tex]\begin{tabular}{|1}z=sin^2x+cos^2y\\(sinx-1)^2+(cosy+\frac{1}{2})^2=c+\frac{5}{4}\end{tabular}[/tex] Сега от 2-рото у-е имаме, че лявата част е по-голяма от 0 и по-малка от [tex](-1-1)^2+(1+\frac{1}{2})^2=\frac{25}{4}[/tex], тоест е в интеравала [tex][0\: ;\: 6\frac{1}{4}]\Right 0\le c+\frac{5}{4}\le \frac{25}{4}\Right \frac{-5}{4}\le c\le 5\Right c\in [\frac{-5}{4}\: ;\: 5][/tex]
При [tex]c=-\frac{5}{4}[/tex] получаваме [tex](sinx-1)^2+(cosy+\frac{1}{2})^2=0\Right \begin{tabular}{|1}sinx=1\\cosy=-\frac{1}{2}\end{tabular}\Right [/tex][tex]\red \fbox{\begin{tabular}{|1}x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\\y=\frac{2\pi}{3}+2l\pi\end{tabular}} [/tex][tex]\; ,\;\;\; k,l\in Z[/tex]
от тук [tex]z=sin^2x+cos^2y=1+\frac{1}{4}=[/tex][tex]\red \fbox{\frac{5}{4}}[/tex]
Последната промяна е направена от martosss на Sat Jun 28, 2008 4:48 pm; мнението е било променяно общо 1 път |
|
| Върнете се в началото |
|
|
ганка симеонова
SUPER VIP
Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
гласове: 298
|
| Пуснато на: Sat Jun 28, 2008 4:33 pm Заглавие: Re: задача от неизтеглен вариант за УАСГ |
|
|
| martosss написа: | | ганка симеонова написа: | Дадена е системата
[tex]sin^2x+cos^2y-z=0 [/tex]
[tex]z-2sinx+cosy=c [/tex]
където с е реален параметър.
а) за кои стойности на с системата има поне едно решение?
б) да се реши системата при [tex]c=-\frac{5}{ 4} [/tex] |
Нека изразим [tex]z[/tex]От първото у-е и заместим във второто. Получаваме:
[tex]\begin{tabular}{|1}z=sin^2x+cos^2y\\sin^2x+cos^2x-2sinx+cosy=c\end{tabular}[/tex]
[tex]\begin{tabular}{|1}z=sin^2x+cos^2y\\(sinx-1)^2+(cosy-\frac{1}{2})^2=c+\frac{5}{4}\end{tabular}[/tex] Сега от 2-рото у-е имаме, че лявата част е в интеравала [tex][0\: ;\: 2]\Right 0\le c+\frac{5}{4}\le 2[/tex]
При [tex]c=-\frac{5}{4}[/tex] получаваме [tex](sinx-1)^2+(cosy-\frac{1}{2})^2=0\Right \begin{tabular}{|1}sinx=1\\cosy=\frac{1}{2}\end{tabular}\Right [/tex][tex]\red \fbox{\begin{tabular}{|1}x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\\y=\frac{\pi}{3}+2l\pi\end{tabular}} [/tex][tex]\; ,\;\;\; k,l\in Z[/tex]
от тук [tex]z=sin^2x+cos^2y=1+\frac{1}{4}=[/tex][tex]\red \fbox{\frac{5}{4}}[/tex] |
поправка [tex](cosy+\frac{1}{2 })^2 [/tex]
лявата страна не надминава [tex](-1-1)^2+(1+\frac{1}{ 2})^2=\frac{25}{4 } [/tex]
=>[tex]c\in [-\frac{5}{4 };5] [/tex] |
|
| Върнете се в началото |
|
|
martosss
VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
гласове: 213
|
| Пуснато на: Sat Jun 28, 2008 4:50 pm Заглавие: |
|
|
Ох, да, наистина.. тоя минус по подразбиране съм го сложил  Вече всичко е оправено  |
|
| Върнете се в началото |
|
|
nikolavp
Фен на форума
Регистриран на: 20 Apr 2008
Мнения: 701
гласове: 13
|
| Пуснато на: Sat Jun 28, 2008 4:52 pm Заглавие: Re: задача от неизтеглен вариант за УАСГ |
|
|
Еми аз го почнах с функции тука, та поне да го доправя така  [tex]\left. \begin{tabular}{|l} sin^2x+cos^2y-z=0 \\z-2sinx+cosy=c \end{tabular} \right} +[/tex]За да има системата решение, трябва [tex]\sin^2x-2sinx+\cos^2y+cosy=c[/tex] да има поне едно решение. Нека [tex]g(y)=\cos^2y+cosy \in [-\frac{1}{4};2] \\ f(x)=\sin^2x-2sinx \in [-1;3] \\ \varphi(x, y)=\sin^2x-2sinx+\cos^2y+cosy[/tex].
Ясно се вижда, че [tex]min \varphi(x, y)[/tex] се достига, когато имаме минимум и за двете горни функции и същото се отнася и за максимума. А дясната страна на нащо равенство е от семейство прави успоредни на абсцисната ос => c се движи от [tex]min \varphi(x, y);max \varphi(x, y)[/tex]. Окончателно [tex]c \in [-\frac{5}{4};5][/tex] |
|
| Върнете се в началото |
|
|
martosss
VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
гласове: 213
|
| Пуснато на: Sat Jun 28, 2008 5:06 pm Заглавие: Re: задача от неизтеглен вариант за УАСГ |
|
|
| nikolavp написа: | Еми аз го почнах с функции тука, та поне да го доправя така [tex]\left. \begin{tabular}{|l} sin^2x+cos^2y-z=0 \\z-2sinx+cosy=c \end{tabular} \right} +[/tex]За да има системата решение, трябва [tex]\sin^2x-2sinx+\cos^2y+cosy=c[/tex] да има поне едно решение. Нека [tex]g(y)=\cos^2y+cosy \in [-\frac{1}{4};2] \\ f(x)=\sin^2x-2sinx \in [-1;3] \\ \varphi(x, y)=\sin^2x-2sinx+\cos^2y+cosy[/tex].
Ясно се вижда, че [tex]min \varphi(x, y)[/tex] се достига, когато имаме минимум и за двете горни функции и същото се отнася и за максимума. А дясната страна на нащо равенство е от семейство прави успоредни на абсцисната ос => c се движи от [tex]min \varphi(x, y);max \varphi(x, y)[/tex]. Окончателно [tex]c \in [-\frac{5}{4};5][/tex] |
Ники, караш ме да се чувствам като теле в железница, въпреки че съм решил задачата |
|
| Върнете се в началото |
|
|
|
|
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
|
|
Меню
