| Предишната тема :: Следващата тема |
| Автор |
Съобщение |
Руси Колев
Напреднал
Регистриран на: 26 Mar 2008
Мнения: 275
  
гласове: 3
|
 Пуснато на: Sat Jun 28, 2008 3:00 pm Заглавие: Конкурна задача 1999г. |
|
|
Здравейте,
Някой може ли да ми каже къде съм сгрешил? Благодарности на всички отзавали се!!!
Дадено е уравнението [tex]f(x)=1+sin2x-2\sqrt{2}b(sinx+cosx)-6b^2=0 [/tex], където b е параметър. За кои стойности на b уравнинието има поне едно решение в интервала [tex][0;\frac{\pi }{ 3} ] [/tex]?
Ето моето решение:
Пол. sinx+cosx = u => 2sinx.cosx=u2-1
[tex]u\in [1;\frac{\sqrt{3} +1 }{ 2}] [/tex]
[tex]f(u)=u^2+2\sqrt{2} bu-6b^2 =0[/tex]
Iсл. [tex]a.f(1).f(\frac{\sqrt{3}+1 }{2 } )<0[/tex]
IIсл. [tex] \begin{tabular}{|l} { D>0 \\ a.f(1)>0 \\ a.f(\frac{\sqrt{3}+1 }{2 } >0 \\ -\frac{b}{2a }>1 \\ -\frac{b}{2a }< \frac{\sqrt{3}+1 }{2 } } \end{tabular} [/tex]
IIIсл. D=0 - b=? и u=?
IVсл. u=1, b=?
Vсл. [tex]u=\frac{\sqrt{3}+1 }{2 }[/tex], b=?
Малко е тромаво, но ...
Предполагам, че имам грешка при определяне на стойностите на u ... Абе, нека някой по-умен помогне 
Благодарности на всички отзавали се!!! |
|
| Върнете се в началото |
|
 |
Реклама
|
| Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
martosss
VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
гласове: 213
|
| Пуснато на: Sat Jun 28, 2008 3:10 pm Заглавие: |
|
|
според мен [tex] u\in [1\: ;\: \sqrt{2}][/tex], понеже [tex]2sinxcosx+1=sin2x+1\in[1\: ;\: 2] [/tex]  |
|
| Върнете се в началото |
|
|
martosss
VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
гласове: 213
|
| Пуснато на: Sat Jun 28, 2008 3:24 pm Заглавие: |
|
|
Получих, че [tex]b\in [-1\: ;\: -\frac{\sqrt{2}}{2}]\cup [\frac{\sqrt{2}}{6}\: ;\: \frac{1}{3}][/tex]
Последната промяна е направена от martosss на Sat Jun 28, 2008 3:39 pm; мнението е било променяно общо 3 пъти |
|
| Върнете се в началото |
|
|
ганка симеонова
SUPER VIP
Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
гласове: 298
|
| Пуснато на: Sat Jun 28, 2008 3:25 pm Заглавие: |
|
|
[tex]0<x<\frac{\pi }{3 }; u=\sqrt{2}cos(x-45^\circ ) [/tex]
по принцип [tex]-\sqrt{2}\le sinx+cosx \le \sqrt{2} [/tex]
в твоя случай=> [tex]\sqrt{2}cos(-45^\circ) <u<\sqrt{2}cos15^\circ [/tex]
в този интервал u се изменя в [tex](1;\sqrt{2}) [/tex]
освен това забележи, че на квадратното уравнение [tex]\frac{c}{a }<0=> [/tex]винаги единият корен е отрицателен. тогава трябва да изискаш положителния да е в дадения интервал
Последната промяна е направена от ганка симеонова на Sat Jun 28, 2008 3:50 pm; мнението е било променяно общо 1 път |
|
| Върнете се в началото |
|
|
nikolavp
Фен на форума
Регистриран на: 20 Apr 2008
Мнения: 701
гласове: 13
|
| Пуснато на: Sat Jun 28, 2008 3:33 pm Заглавие: |
|
|
| Цитат: | | в твоя случай=> [tex]\sqrt{2}cos45^\circ <u<\sqrt{2}cos15^\circ [/tex] |
Май започнахте да пишете глупости  |
|
| Върнете се в началото |
|
|
ганка симеонова
SUPER VIP
Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
гласове: 298
|
| Пуснато на: Sat Jun 28, 2008 3:33 pm Заглавие: |
|
|
| що? |
|
| Върнете се в началото |
|
|
martosss
VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
гласове: 213
|
| Пуснато на: Sat Jun 28, 2008 3:37 pm Заглавие: Re: Конкурна задача 1999г. |
|
|
| Руси Колев написа: | Дадено е уравнението [tex]f(x)=1+sin2x-2\sqrt{2}b(sinx+cosx)-6b^2=0 [/tex], където b е параметър. За кои стойности на b уравнинието има поне едно решение в интервала [tex][0;\frac{\pi }{ 3} ] [/tex]?
Ето моето решение:
Пол. sinx+cosx = u => 2sinx.cosx=u2-1
[tex]u\in [1\: ;\: \sqrt{ 2}] [/tex]
[tex]f(u)=u^2-2\sqrt{2}bu-6b^2=0[/tex]
|
До тук съм и аз, после продължавам така:
[tex]D=8b^2+24b^2=32b^2\ge 0 [/tex] За всяко u => [tex]u_{1,2}=\frac{2\sqrt{2}b\pm 4\sqrt{2}b}{2}=b\sqrt{2}\pm 2\sqrt{2}b[/tex]
[tex]x_1=-b\sqrt{2},\: x_2=3b\sqrt{2}[/tex]
Сега [tex]1\le -b\sqrt{2}\le \sqrt{2}\;\;\cup\;\; 1\le 3b\sqrt{2}\le \sqrt{2}[/tex]
[tex]\begin{tabular}{|1}b\le -\frac{\sqrt{2}}{2}\\b\ge -1\end{tabular}\cup \begin{tabular}{|1}b\ge \frac{\sqrt{2}}{6}\\b\le \frac{1}{3}\end{tabular}\Longright b\in [-1\: ; -\frac{\sqrt{2}}{2}]\cup [\frac{\sqrt{2}}{6}\: ;\: \frac{1}{3}][/tex] |
|
| Върнете се в началото |
|
|
nikolavp
Фен на форума
Регистриран на: 20 Apr 2008
Мнения: 701
гласове: 13
|
| Пуснато на: Sat Jun 28, 2008 3:49 pm Заглавие: |
|
|
| ганка симеонова написа: | | що? |
Нека [tex]u=sinx+cosx=\sqrt{2}sin(x+45^\circ)[/tex]. От условието имаме:
[tex]0 \le x \le \frac{\pi}{3} / + \frac{\pi}{4} \\ \frac{\pi}{4} \le x+\frac{\pi}{4}\le \frac{7\pi}{12}[/tex]
Сега всичко слагаме под синус като ще отбележим, че тя е растяща функция и, че нашият ъгъл минава през максимума и(това лесно се обосновава с окръжност) => [tex]\le 1[/tex]
[tex]sin(\frac{\pi}{4})\le sin(x+\frac{\pi}{4}) \le 1 /.\sqrt{2} \\ 1\le \sqrt{2}sin(x+\frac{\pi}{4})\le \sqrt{2} \\ 1\le u \le \sqrt{2}[/tex] |
|
| Върнете се в началото |
|
|
ганка симеонова
SUPER VIP
Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
гласове: 298
|
| Пуснато на: Sat Jun 28, 2008 3:54 pm Заглавие: |
|
|
| nikolavp написа: | | Цитат: | | в твоя случай=> [tex]\sqrt{2}cos45^\circ <u<\sqrt{2}cos15^\circ [/tex] |
Май започнахте да пишете глупости |
верно, че пиша дивотии 
промених се. бях изпуснала един - |
|
| Върнете се в началото |
|
|
Руси Колев
Напреднал
Регистриран на: 26 Mar 2008
Мнения: 275
гласове: 3
|
| Пуснато на: Sun Jun 29, 2008 4:47 pm Заглавие: |
|
|
| nikolavp написа: | | ганка симеонова написа: | | що? |
Нека [tex]u=sinx+cosx=\sqrt{2}sin(x+45^\circ)[/tex]. От условието имаме:
[tex]0 \le x \le \frac{\pi}{3} / + \frac{\pi}{4} \\ \frac{\pi}{4} \le x+\frac{\pi}{4}\le \frac{7\pi}{12}[/tex]
Сега всичко слагаме под синус като ще отбележим, че тя е растяща функция и, че нашият ъгъл минава през максимума и(това лесно се обосновава с окръжност) => [tex]\le 1[/tex]
[tex]sin(\frac{\pi}{4})\le sin(x+\frac{\pi}{4}) \le 1 /.\sqrt{2} \\ 1\le \sqrt{2}sin(x+\frac{\pi}{4})\le \sqrt{2} \\ 1\le u \le \sqrt{2}[/tex] |
Навсякъде е [tex]cos(x-\frac{\pi }{ 4}) [/tex], а не (х+..)
[tex]cos15^\circ =cos45.cos60-sin45.sin60=\frac{\sqrt{2} }{4 }(1-\sqrt{3}) [/tex] ??? не е ли така? Защо всички получавате √2 |
|
| Върнете се в началото |
|
|
martosss
VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
гласове: 213
|
| Пуснато на: Sun Jun 29, 2008 5:10 pm Заглавие: |
|
|
| Руси Колев написа: | | [tex]cos15^\circ =cos45.cos60-sin45.sin60=\frac{\sqrt{2} }{4 }(1-\sqrt{3}) [/tex] ??? не е ли така? Защо всички получавате √2 |
Не че нещо, ама [tex]cos15^\circ =cos(60^\circ -45^\circ )=cos60^\circ cos45^\circ+sin45^\circ sin60^\circ =\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}}{4}[/tex] - с плюсче е формулата |
|
| Върнете се в началото |
|
|
Руси Колев
Напреднал
Регистриран на: 26 Mar 2008
Мнения: 275
гласове: 3
|
| Пуснато на: Sun Jun 29, 2008 5:17 pm Заглавие: |
|
|
| martosss написа: | | Руси Колев написа: | | [tex]cos15^\circ =cos45.cos60-sin45.sin60=\frac{\sqrt{2} }{4 }(1-\sqrt{3}) [/tex] ??? не е ли така? Защо всички получавате √2 |
Не че нещо, ама [tex]cos15^\circ =cos(60^\circ -45^\circ )=cos60^\circ cos45^\circ+sin45^\circ sin60^\circ =\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}}{4}[/tex] - с плюсче е формулата |
Да, прав си! Но това не променя факта, че всички пишете корен от 2, а то е:
[tex]\sqrt{2}. cos15 = \frac{1}{2 }(1+\sqrt{3}) [/tex] (аз така съм го и записал в първия пост!
Защо получавате за краен интервал [tex]\sqrt{2} [/tex] ???  |
|
| Върнете се в началото |
|
|
martosss
VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
гласове: 213
|
| Пуснато на: Sun Jun 29, 2008 5:39 pm Заглавие: |
|
|
| Добре, погледни го така... когато [tex]x\in [0\: ;\: 45]\Right cos(45-x)\in [\frac{\sqrt{2}}{2}\: ;\: 1][/tex]после когато [tex]x\in (45\: ;\: 60]\Right cos(x-45)\in (1\: ;\: cos15)[/tex] тоест двата интервала се повтарят, затова става от корен 2 върху 2 до 1 |
|
| Върнете се в началото |
|
|
nikolavp
Фен на форума
Регистриран на: 20 Apr 2008
Мнения: 701
гласове: 13
|
| Пуснато на: Sun Jun 29, 2008 5:43 pm Заглавие: |
|
|
| Руси Колев написа: | | nikolavp написа: | | ганка симеонова написа: | | що? |
Нека [tex]u=sinx+cosx=\sqrt{2}sin(x+45^\circ)[/tex]. От условието имаме:
[tex]0 \le x \le \frac{\pi}{3} / + \frac{\pi}{4} \\ \frac{\pi}{4} \le x+\frac{\pi}{4}\le \frac{7\pi}{12}[/tex]
Сега всичко слагаме под синус като ще отбележим, че тя е растяща функция и, че нашият ъгъл минава през максимума и(това лесно се обосновава с окръжност) => [tex]\le 1[/tex]
[tex]sin(\frac{\pi}{4})\le sin(x+\frac{\pi}{4}) \le 1 /.\sqrt{2} \\ 1\le \sqrt{2}sin(x+\frac{\pi}{4})\le \sqrt{2} \\ 1\le u \le \sqrt{2}[/tex] |
Навсякъде е [tex]cos(x-\frac{\pi }{ 4}) [/tex], а не (х+..)
[tex]cos15^\circ =cos45.cos60-sin45.sin60=\frac{\sqrt{2} }{4 }(1-\sqrt{3}) [/tex] ??? не е ли така? Защо всички получавате √2 |
Интервала трябва да е същият. Нищо не трябва да се промени. Просто cos много по - лошо върви в тоя интервал и съм решил да я направя на синус, защото определено по - лесно се определя... |
|
| Върнете се в началото |
|
|
Руси Колев
Напреднал
Регистриран на: 26 Mar 2008
Мнения: 275
гласове: 3
|
| Пуснато на: Sun Jun 29, 2008 5:44 pm Заглавие: |
|
|
| martosss написа: | | Добре, погледни го така... когато [tex]x\in [0\: ;\: 45]\Right cos(45-x)\in [\frac{\sqrt{2}}{2}\: ;\: 1][/tex]после когато [tex]x\in (45\: ;\: 60]\Right cos(x-45)\in (1\: ;\: cos15)[/tex] тоест двата интервала се повтарят, затова става от корен 2 върху 2 до 1 |
Сега вече ми стана съвсем ясно. Благодарности! |
|
| Върнете се в началото |
|
|
|
Меню
Регистрирайте се
