Регистрирайте сеРегистрирайте се

Неравенство с реципрочни числа


 
   Форум за математика Форуми -> Неравенства
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Saposto_MM
Напреднал


Регистриран на: 02 Apr 2007
Мнения: 383
Местожителство: Панагюрище
Репутация: 124.4
гласове: 67

МнениеПуснато на: Fri Jun 27, 2008 4:47 pm    Заглавие: Неравенство с реципрочни числа

Нека a1,a2,...,an са положителни числа. Докажете, че [tex](a_{1}+a_{2}+...+a_{n})(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{n}})\ge n^{2}[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Fri Jun 27, 2008 5:23 pm    Заглавие: Re: Неравенство с реципрочни числа

MM написа:
Нека a1,a2,...,an са положителни числа. Докажете, че [tex](a_{1}+a_{2}+...+a_{n})(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{n}})\ge n^{2}[/tex].



Нека разгледаме двата множителя поотделно.
От неравенството между средноаритметичното и средногеометричното имаме:
[tex]a_{1}+a_{2}+...+a_{n}\ge n\sqrt[n]{a_1*a_2*a_3*\cdots a_n}[/tex]
[tex]\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{n}}\ge n\sqrt[n]{\frac{1}{a_1*a_2*a_3*\cdots a_n}}[/tex]

Нека сега почленно умножим двете неравенства:

[tex](a_{1}+a_{2}+...+a_{n})(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{n}})\ge n^2\sqrt[n]{\frac{a_1*a_2*a_3*\cdots a_n}{a_1*a_2*a_3*\cdots a_n}}=n^2[/tex] Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Saposto_MM
Напреднал


Регистриран на: 02 Apr 2007
Мнения: 383
Местожителство: Панагюрище
Репутация: 124.4
гласове: 67

МнениеПуснато на: Sun Jul 06, 2008 9:30 pm    Заглавие:

Задачата следва директно при прилагане на неравенството на Коши-Бунейковски-Шварц.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Sat Jul 19, 2008 2:11 pm    Заглавие:

Всъщност може да се разглежда и като директно следствие между [tex]AM\ge HM[/tex] (ср.аритм.[tex]\ge[/tex] ср.харм.)
[tex]\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}\ge\frac{n}{\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{n}}[/tex]
[tex](a_{1}+a_{2}+...+a_{n})(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{n}})\ge n^2 [/tex]

ПП Може и с Коши-Буняковски както каза ММ Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Неравенства Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.