Предишната тема :: Следващата тема |
Автор |
Съобщение |
Saposto_MM Напреднал
Регистриран на: 02 Apr 2007 Мнения: 383 Местожителство: Панагюрище гласове: 67
|
Пуснато на: Fri Jun 27, 2008 4:47 pm Заглавие: Неравенство с реципрочни числа |
|
|
Нека a1,a2,...,an са положителни числа. Докажете, че [tex](a_{1}+a_{2}+...+a_{n})(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{n}})\ge n^{2}[/tex]. |
|
Върнете се в началото |
|
|
Реклама
|
Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
martosss VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007 Мнения: 3937 Местожителство: Somewhere over the rainbow гласове: 213
|
Пуснато на: Fri Jun 27, 2008 5:23 pm Заглавие: Re: Неравенство с реципрочни числа |
|
|
MM написа: | Нека a1,a2,...,an са положителни числа. Докажете, че [tex](a_{1}+a_{2}+...+a_{n})(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{n}})\ge n^{2}[/tex]. |
Нека разгледаме двата множителя поотделно.
От неравенството между средноаритметичното и средногеометричното имаме:
[tex]a_{1}+a_{2}+...+a_{n}\ge n\sqrt[n]{a_1*a_2*a_3*\cdots a_n}[/tex]
[tex]\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{n}}\ge n\sqrt[n]{\frac{1}{a_1*a_2*a_3*\cdots a_n}}[/tex]
Нека сега почленно умножим двете неравенства:
[tex](a_{1}+a_{2}+...+a_{n})(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{n}})\ge n^2\sqrt[n]{\frac{a_1*a_2*a_3*\cdots a_n}{a_1*a_2*a_3*\cdots a_n}}=n^2[/tex] |
|
Върнете се в началото |
|
|
Saposto_MM Напреднал
Регистриран на: 02 Apr 2007 Мнения: 383 Местожителство: Панагюрище гласове: 67
|
Пуснато на: Sun Jul 06, 2008 9:30 pm Заглавие: |
|
|
Задачата следва директно при прилагане на неравенството на Коши-Бунейковски-Шварц. |
|
Върнете се в началото |
|
|
Пафнутий VIP
Регистриран на: 04 Mar 2008 Мнения: 1199
гласове: 54
|
Пуснато на: Sat Jul 19, 2008 2:11 pm Заглавие: |
|
|
Всъщност може да се разглежда и като директно следствие между [tex]AM\ge HM[/tex] (ср.аритм.[tex]\ge[/tex] ср.харм.)
[tex]\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}\ge\frac{n}{\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{n}}[/tex]
[tex](a_{1}+a_{2}+...+a_{n})(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{n}})\ge n^2 [/tex]
ПП Може и с Коши-Буняковски както каза ММ |
|
Върнете се в началото |
|
|
|