Три задачи

[daredevils]

Задача1.Нека f(t)=t ^{2 } +(a-1)t+2a-5
a)При a=5 да се нам всички реални х,за които f (2 на x-та)[tex]\ge [/tex]0
б)Да се нам стойностите на а , за които уравнението има два положителни корена, като единя е по-голям от 1 , а другия по-малък
зад2.Даден е триъгалника ABC.Ъгъл BAC=45,ACB=75.Върху страните AB и BC са избрани съответно точките D и E така, че CE=[tex]\sqrt{2} [/tex],DCA=EAC=30
a)Док че пресечната точка на CD и AE е център на описаната около триъгалник ABC окръжност
б)ДОк че CDE=45
в)да се нам радиуса на описаната около триъгалника CDE окръжност
зад3.Даден е трапец ABCD(AB||CD) с голяма основа AB,BAD=2[tex]\alpha [/tex],AD=BC=CD=b
a)ДА се нам лицето на трапецa
б)да се нам радиуса на описаната около трапеца окръжност,ако
[tex]\alpha [/tex] е корен на уравнението sinx+cosx=[tex]\frac{\sqrt{6} }{ 2}[/tex][/tex]

[Реклама]

[ObsCure]

3) а)Спускаме височина DD₁.От ▲ADD₁ имаме за височината

[tex]DD_{1}=bsin2\alpha[/tex]

Голямата основа намираме използвайки

[tex]AD_{1}=\frac{AB-CD}{2} => \frac{AD_{1}}{b}=cos2\alpha => AB=b+cos2\alpha[/tex]

Лицето е

[tex]S=(\frac{2b+cos2\alpha}{2})bsin2\alpha=(b+\frac{cos2\alpha}{2})bsin2\alpha[/tex]

б)[tex]sinx+cosx=\frac{\sqrt{6}}{2} <=> \sqrt{2}sin(45^\circ+x)=\frac{\sqrt{6}}{2} /:\sqrt{2}[/tex]

[tex]sin(45^\circ+x)=\frac{\sqrt{3}}{2} => x=15^\circ[/tex]

Оттук не е проблем да се намери търсеният радиус(радиус на описаната около ▲ABD окръжност).

[martosss]

На първа задача у-ето е [tex]f(x)=\sqrt{x^2}+(a-1)x+2a-5[/tex], така ли?

[martosss]

Хаха тая 2) ни я бяха дали в клас, само че беше формулирана така:
Даден е [tex]\Del ABC[/tex] и точките [tex]D[/tex] и [tex]E[/tex] са съответно от страните [tex]AB[/tex] и [tex]BC[/tex], [tex]CD\cap AE=O[/tex], така че [tex]\angle AOC=2\angle ABC=60^\circ[/tex]. Ако [tex]CE=m,\: \angle BAC=\alp[/tex], то да се изрази радиусът на описаната около [tex]\Del DEC[/tex] окръжност. Наистина хубава задача, дори на нас са ни я дали по-обобщено

Така, нека сега напишем и решението на Дадената, което е същото, като решението на моята, само че без толкова много перипетии...

Нека АЕ и СД се пресичат в точка О. От ▲АОС намираме ъгъл АОС=120, но ъгъл АВС=60, от тук ъгъл АВС вижда АС под ъгъл 60, а ъгъл АОС вижда отсечката АС под ъгъл 120, откъдето директно около АВС може да се опише окръжност с център точка О
б) ъгъл ДОЕ=ъгъл АОС=120, ъгъл ДВЕ=60 => около ДВЕО може да се опише окръжност => ъгъл СДЕ=ъгъл ОВЕ.
Освен това О е ц. на оп. около АВС окр. откъдето ▲ОВС е равнобедрен и ъгъл ОСВ = ъгъл ОВС=75-30=45,
но ъгъл ОВС= ъгъл ОДЕ откъдето ъгъл ОДЕ=45.

в) От Синусовата теорема за ▲ДЕС имаме [tex]\frac{CE}{sin45}=2R\Right R=1[/tex]

[ObsCure]

1) а) [tex] f(x)=\sqrt{t^{2 }}+(a-1)t+2a-5[/tex]

[tex]a=5 => f(x)=\sqrt{t^{2 }}+4t+5[/tex]

[tex]f(2_^{x})=(\sqrt{2_^{x}})_^{2}+4.2_^{x}+5=|2_^{x}|+4.2_^{x}+5[/tex]

Е да,ама

[tex]2_^{x}>0[/tex](always!) => [tex]f(2_^{x})=5.2_^{x}+5[/tex]

Сега неравенство,и т.н.И ще установим,че няма решение.

[nikolavp]

1 b) [tex]f(x)=|x|+(a-1)x+2a-5[/tex]
Iсл. x<0 нямаме корени, които да са по - големи от нула от дефиниционната област => този случай няма решение

IIсл. [tex]x\ge 0 => f(x)=x+(a-1)x+2a-5=ax+2a-5=0[/tex]. Това уравнение е линейно и трябва да има два корена. Едно линейно уравнение може да има само един корен или безброй много решения, но и двете не ни удовлетворяват

[ObsCure]

[Unimath22]

Според мен човекът просто е написал погрешно условието. Сигурно нямаме [tex]|t|[/tex], а [tex]t^2[/tex]. Поначало не е много смислено да пишем [tex]\sqrt[]{t^2}[/tex] , вместо направо [tex]|t|[/tex].

[martosss]

Това може да е за заблуда на врага Нека да изчакаме да потвърди условието.... може тоя корен да е по-дълъг

[ObsCure]

[nikolavp]

[ObsCure]

[Unimath22]

[tex]f(x)=x^2+(a-1)x+2a-5[/tex]. Условие: при [tex]a=5[/tex], намерете за кои [tex]x[/tex] [tex]f(2^x)\ge 0[/tex].
За [tex]a=5[/tex]: [tex]f(x)=x^2+4x+5[/tex], a [tex]f(2^x)=2^{2x}+4.2^x+5[/tex]. [tex]f(2^x)\ge 0[/tex] за всяко x.
Другото условие наистина е неизпълнимо за което и да е [tex]a[/tex], но това, както виждаш, е изпълнено за всяко x.

[ObsCure]

[daredevils]

Е малко съм я объркал първата, а ме и нямаше да я оправя ...
Но вече е готово

[martosss]

За 1б) получавам [tex]D=(a-3)(a-7)=> a\le 3\cup a\ge 7[/tex]

За да може двата корена да са между 1, то трябва f(1)<0 => a<5/3 откъдето [tex]a\in (-\infty\: ;\: \frac{5}{3})[/tex]