Авторска задача - Sefket Arslanagic, University of Sarajevo

[Titu_Andrescu]

x,y са не отрицателни числа за които е изпълнено неравенството x³+y⁴≤x²+y³.
Да се докаже, че x³+y³≤2.

[Реклама]

[Titu_Andrescu]

Задачата за пръв път се появява в Националната Олимпиада по математика в Русия 1999. След което се побликува в редица списания, книги и влиза в много контролни на различни държави за избиране на отборите за Балканската и Националната олимпиади. След което е включена в Националното Състезание по Математика между Унгария и Израел -2002 Будапеща, Март 2002, като първа задача от втория ден на състезанието. Всички решения, който са давани на тази задача не са кратки и използват по-сложни теореми за неравенства. Едно от най-логичните решения е на Бекжан Джумбаев, които използва неравенството на Коши-Буняковски-Шварц и е публикувано в komal 2003. Eдва 2005 година се разкрива авторовото решение, което се оказва че е доста елементарно, но нека първо да помислите и да се опитате да решите задачата сами, а пък после може и да ви го покажа.

Успех!

[Titu_Andrescu]

Упътване: Бекжан Джумбаев доказва, че x³+y³≤x²+y²≤x+y≤2.

[Titu_Andrescu]

Б. Джумбаев : Ако x, y са едновременно ≤ 1, Тогава неравенствата са очевидно верни. Ако x, y са едновременно > 1, тогава те ни изпълняват условието на задачата. Следователно имаме две възможности : (1) x ≥ 1 ≥ y или (2) y ≥ 1 ≥ x. Ще докажем първо, че x³ + y³ ≤ x²+ y². В първият случай имаме, че x² + y² . (1-y) ≥ x² + y³ . (1-y) ≥ x³ + y⁴ – y⁴ = x³, следователно x² + y² ≥ x³ + y³, което искахме да докажем. Във втория случай имаме, че x² ≥ x³ + y³ . (y-1) ≥ x³ + y² . (y-1), и отново x² + y² ≥ x³ + y³
Сега, от неравинството на Коши-Буняковски-Шварц имаме, че : x² + y² = x^1.5 . x^0.5 + y^1.5 . y^0.5 ≤ √(x³+y³) . √(x+y). Но x² + y² ≥ x³ + y³, следователно x² + y² ≤ x + y.
От друга страна 2xy ≤ (x²+y²), следователно (x + y)² ≤ 2(x² + y²) и доказахми, че 2(x² + y²) ≤ 2(x + y), тоест x + y ≤ 2. Тогава x³ + y³ ≤ x² + y² ≤ x + y ≤ 2.

Решете задачата по друг начин. Хайде опитайте!

[Titu_Andrescu]

Авторовото решение може да бъде разбрано и от шестокласник. Можете ли да го откриете?

[Titu_Andrescu]

2-x³-y³=3(x²+y³-x³-y⁴)+(x-1)²(2x+1)+(y-1)²(3y²+2y-1)≥ 0