 Регистрирайте се
| Предишната тема :: Следващата тема |
| Автор |
Съобщение |
Мирослав Стоенчев
Напреднал
Регистриран на: 21 Aug 2007
Мнения: 279
  
гласове: 45
|
 Пуснато на: Wed Jun 25, 2008 5:40 pm Заглавие: 2-ри кръг 2001г |
|
|
Задача 1. Да се намерят стойностите на параметъра [tex]k\in \mathbb{R},[/tex] за които функцията [tex]f(x)=8.\sin x+k.\sin 2x[/tex] е растяща в интервала [tex][0,\frac{\pi}{3}].[/tex]
Задача 2. Окръжност се допира до катетите на правоъгълен [tex]\triangle ABC[/tex] и до описаната му окръжност. Ако [tex]d[/tex] е разстоянието между центровете на тези окръжности, да се докаже, че [tex]d=R-2r,[/tex] където [tex]R,r[/tex] са съответно радиусите на описаната и вписаната окръжности в [tex]\triangle ABC.[/tex]
Задача 3. Да се намери най-малкото естествено число [tex]a,[/tex] за което съществуват [tex]b,c\in \mathbb{Z},[/tex] такива че уравнението [tex]ax^2+bx+c=0[/tex] има 2 различни реални корена от интервала [tex](0,1).[/tex]
|
|
| Върнете се в началото |
|
 |
Реклама
|
| Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
Nona
Напреднал
Регистриран на: 12 Sep 2006
Мнения: 477
гласове: 163
|
| Пуснато на: Wed Jun 25, 2008 6:44 pm Заглавие: Re: 2-ри кръг 2001г |
|
|
| Мирослав Стоенчев написа: | | Задача 2. Окръжност се допира до катетите на правоъгълен [tex]\triangle ABC[/tex] и до описаната му окръжност. Ако [tex]d[/tex] е разстоянието между центровете на тези окръжности, да се докаже, че [tex]d=R-2r,[/tex] където [tex]R,r[/tex] са съответно радиусите на описаната и вписаната окръжности в [tex]\triangle ABC.[/tex] |
Нека М и N са среди съответно на АС и ВС, а К и L са допирните точки на окръжността с катетите. O1K ∩ ON = T. КО1LC е квадрат със страна радиусът R1. Прилагаме питагорова теорема за ▲ОО1Т:
[tex]\left(\frac{b}{2}-R_1\right)^2+\left(R_1-\frac{a}{2}\right)^2=\left(R-R_1\right)^2 \\ \frac{b^2}{4}-bR_1+2R_1^2-aR_1+\frac{a^2}{4}=R^2-2RR_1+R_1^2 \\ \frac{a^2+b^2}{4}-(a+b-2R)R_1+R_1^2-R^2=0 \\ \not{\frac{c^2}{4}}-(a+b-c)R_1+R_1^2-\not{R^2}=0 \\ R_1(R_1-2r)=0 \Rightarrow R_1=2r \\ \Rightarrow d=R-R_1=R-2r[/tex]
| Description: |
|
| Големина на файла: |
30.67 KB |
| Видяна: |
1409 пъти(s) |
|
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
nikolavp
Фен на форума
Регистриран на: 20 Apr 2008
Мнения: 701
гласове: 13
|
| Пуснато на: Wed Jun 25, 2008 9:34 pm Заглавие: Re: 2-ри кръг 2001г |
|
|
Задача 3. Да се намери най-малкото естествено число [tex]a,[/tex] за което съществуват [tex]b,c\in \mathbb{Z},[/tex] такива че уравнението [tex]ax^2+bx+c=0[/tex] има 2 различни реални корена от интервала [tex](0,1).[/tex]
[tex]0<x_{1}<x_{2}<1 <=> \begin{tabular}{|l} a.f(0)>0 \\ af(1)>0 \\ D>0 \\ 0<-\frac{b}{2a}<1\end{tabular} <=> \begin{tabular}{|l} ac>0 \\ a(a+b+c)>0 \\ b^2-4ac>0 \\ -\frac{b}{2a}>0 \\ -\frac{b}{2a}<1\end{tabular}[/tex]
Сега знаем, че [tex]a\in N[/tex]. Започваме да пробваме под ред числата => a=1 => [tex]\begin{tabular}{|l}c>0 \\ 1+b+c>0 \\ b^2-4c>0 \\ -b>0 \\ -b<1\end{tabular} =>\begin{tabular}{|l} b \in (-1;0) \\ c > 0 \\ 1+b+c>0 \\ b^2-4c > 0 \end{tabular}[/tex]Ясно се вижда, че третото неравенство е изпълнено за всяко [tex]b\in (-1;0);c\in(0;+\infty )[/tex]Гледаме четвъртото => [tex]c < \frac{b^2}{4} => c \in (0;\frac{1}{4})[/tex] Окончателно имаме, че за [tex]a=1;b\in(-1;0);c\in(0;\frac{1}{4})[/tex] уравнението има два корена между числата (0;1). Нещо вярно ?
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
martosss
VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
гласове: 213
|
| Пуснато на: Wed Jun 25, 2008 9:43 pm Заглавие: Re: 2-ри кръг 2001г |
|
|
| Мирослав Стоенчев написа: | | Задача 3. Да се намери най-малкото естествено число [tex]a,[/tex] за което съществуват [tex]b,c\in \mathbb{Z},[/tex] такива че уравнението [tex]ax^2+bx+c=0[/tex] има 2 различни реални корена от интервала [tex](0,1).[/tex] |
a=5
ето ми и идеята...
за да има корени в този интервал трябва да е изпълнено следното :
[tex]\begin{tabular}{|1}D>0\\f(0)>0\\f(1)>0\\0<\frac{-b}{2a}<1\end{tabular}\Longleftright \begin{tabular}{|1}b^2>4ac\\c>0\\a+b+c>0\\0>b\\b>-2a\end{tabular}[/tex]
Сега коренуваме [tex]b^2>4ac[/tex] и получаваме [tex]|b|>2\sqrt{ac},b<0\Right -b>2\sqrt{ac}\Right b<-2\sqrt{ac}[/tex], но от последното неравенство от системата имаме [tex]-2a<b[/tex] и от тези двете получаваме [tex]-2a<b<-2\sqrt{ac}\Right a>\sqrt{ac}\Right[/tex] [tex]\red a>c[/tex]
Получихме наредбата [tex]a>c>0>b>-2a[/tex]
При а=1 [tex]c\in\cancel 0[/tex]
При а=2 => с=1=> [tex]a+b+c=3+b>0\Right b>-3[/tex]. от тук за б получаваме че е или -1 или -2, но [tex]b^2>8\Right b>3\cup b<-3[/tex] откъдето [tex]b\in\cancel 0[/tex]
При а=3 => с=2 или с=1, тоест [tex]\begin{tabular}{|1}a=3\\c=2\\b<0\\b^2>24\\3+2+b>0\end{tabular}\cup \begin{tabular}{|1}a=3\\c=1\\b<0\\b^2>12\\3+1+b>0\end{tabular}\Longleftright \begin{tabular}{|1}a=3\\c=2\\b<0\\b\le -5\cup b\ge 5\\b>-5\end{tabular}\cup \begin{tabular}{|1}a=3\\c=1\\b<0\\b\le -4\cup b\ge 4\\b>-4\end{tabular}\Right b\in \cancel 0[/tex]
При а=4 имаме с=1 или с=2 или с=3=>
[tex]\begin{tabular}{|1}a=4\\c=1\\b<0\\b^2>16\\a+b+c>0\end{tabular}\Longleftright \begin{tabular}{|1}a=4\\c=1\\b<0\\b\le-4\cup b\ge 4\\b>-5\end{tabular}\Right b\in \cancel 0[/tex]
[tex]\begin{tabular}{|1}a=4\\c=2\\b<0\\b^2>32\\4+b+2>0\end{tabular}\Longleftright \begin{tabular}{|1}a=4\\c=2\\b<0\\b\le -6\cup b\ge 6\\b>-6\end{tabular}\Right b\in \cancel 0[/tex]
[tex]\begin{tabular}{|1}a=4\\c=3\\b<0\\b^2>48\\4+b+3>0\end{tabular}\Longleftright \begin{tabular}{|1}a=4\\c=3\\b<0\\b\le -7\cup b\ge 7\\b>-7\end{tabular}\right b\in \cancel 0[/tex]
при а=5 имаме с=4 или с=3 или с=2 или с=1
[tex]\begin{tabular}{|1}a=5\\c=1\\b<0\\b^2>20\\5+b+1>0\end{tabular}\Longleftright \begin{tabular}{|1}a=5\\c=1\\b<0\\b\ge 5\cup b\le -5\\b>-6\end{tabular}[/tex] откъдето [tex]b=-5[/tex] е решение, тоест [tex]a=5,b=-5,c=1[/tex] с което задачата е решена, защото доказахме, че няма по-малко стойности от 5 за а , при които това у-е да има два корена в интервала (0;1) 
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
martosss
VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
гласове: 213
|
| Пуснато на: Wed Jun 25, 2008 9:46 pm Заглавие: Re: 2-ри кръг 2001г |
|
|
| nikolavp написа: | | Окончателно имаме, че за [tex]a=1;b\in(-1;0);c\in(0;\frac{1}{4})[/tex] уравнението има два корена между числата (0;1). Нещо вярно ? |
Ще те разочаровам, б и с са цели 
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
martosss
VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
гласове: 213
|
| Пуснато на: Wed Jun 25, 2008 10:50 pm Заглавие: |
|
|
Имах някои неточности и технически грешки, сега ги корИгирах, кажете дали ми е вярна задачата  
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
nikolavp
Фен на форума
Регистриран на: 20 Apr 2008
Мнения: 701
гласове: 13
|
| Пуснато на: Thu Jun 26, 2008 7:05 am Заглавие: Re: 2-ри кръг 2001г |
|
|
| martosss написа: | | nikolavp написа: | | Окончателно имаме, че за [tex]a=1;b\in(-1;0);c\in(0;\frac{1}{4})[/tex] уравнението има два корена между числата (0;1). Нещо вярно ? |
Ще те разочаровам, б и с са цели |
Хмм пак не съм видял, че се иска [tex]b,c\in Z[/tex]. Много приятно
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
martosss
VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
гласове: 213
|
| Пуснато на: Thu Jun 26, 2008 11:35 am Заглавие: Re: 2-ри кръг 2001г |
|
|
| nikolavp написа: | | martosss написа: | | nikolavp написа: | | Окончателно имаме, че за [tex]a=1;b\in(-1;0);c\in(0;\frac{1}{4})[/tex] уравнението има два корена между числата (0;1). Нещо вярно ? |
Ще те разочаровам, б и с са цели |
Хмм пак не съм видял, че се иска [tex]b,c\in Z[/tex]. Много приятно |
Може да се е объркал, че Z значи рационално(а пък то всъщност значи цели )
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
|
|
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
|
|
Меню
