Регистрирайте сеРегистрирайте се

Много условия за доказване, :)


 
   Форум за математика Форуми -> Триъгълници
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Wed Jun 25, 2008 1:35 pm    Заглавие: Много условия за доказване, :)

Зад. 1. Нека [tex]r_{a}, r_{b}, r_{c}[/tex] са радиусите на външно вписаните окръжности на [tex]\triangle ABC[/tex], а [tex]r[/tex] е радиусът на вписаната окръжност. Да се докаже, че:
а) [tex]\frac{1}{r}=\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}[/tex];
б) [tex]\frac{1}{r_{c}}=\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}-\frac{1}{h_{c}}[/tex];
в) [tex]\frac{1}{r}=\frac{1}{r_{a}}+\frac{1}{r_{b}}+\frac{1}{r_{c}}[/tex];
г) [tex]r_{a}r_{b}r_{c}=p^2r[/tex];
д) [tex]p^2=r_{a}r_{b}+r_{b}r_{c}+r_{c}r_{a}[/tex].

Зад. 2. Нека [tex]l_{a}, l_{b}, l_{c}[/tex] са ъглополовящите на ъглите срещу страните [tex]BC, CA, AB[/tex] в [tex]\triangle ABC[/tex]. Да се докаже, че:
а) [tex]l_{c}=\frac{2}{a+b}\sqrt{abp(p-c)}[/tex];
б) [tex]l_{a}^2-l_{b}^2=\frac{4pc(b-a)}{(a+c)^2(b+c)}(abc+p(ab+c^2))[/tex];
в) [tex]l_{a}=l_{b} \Leftrightarrow a=b[/tex];
г) [tex]l_{a}>l_{b} \Leftrightarrow a<b[/tex].

Зад. 3. Нека [tex]I[/tex] е центърът на вписаната в [tex]\triangle ABC[/tex] окръжност, а [tex]CC_{1}[/tex] е ъглополовящата през върха [tex]C[/tex]. Да се докаже, че
[tex]\frac{CI}{IC_{1}}=\frac{a+b}{c}[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
ObsCure
Фен на форума


Регистриран на: 02 Jul 2007
Мнения: 990
Местожителство: Казанлък/Пловдив
Репутация: 104.4
гласове: 28

МнениеПуснато на: Wed Jun 25, 2008 1:45 pm    Заглавие:

1-a)Използвай,че

S[tex]=\frac{a.h_{a}}{2}[/tex]

За б)-г) use these

[tex]S=(p-a)r_{a}[/tex] (За другите страни са аналогични)

както и ,че

[tex]S=\sqrt{r.r_{a}.r_{b}.r_{c}}[/tex]


Последната промяна е направена от ObsCure на Wed Jun 25, 2008 5:35 pm; мнението е било променяно общо 3 пъти
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Wed Jun 25, 2008 5:29 pm    Заглавие:

Зад 3. От [tex]I[/tex] към [tex]BC[/tex] и [tex]AB[/tex] спускаме перпендикуляри [tex]IH[/tex] и [tex]IP[/tex]([tex]P[/tex] и [tex]H[/tex] са съответно върху [tex]AB[/tex] и [tex]BC[/tex]). Означаваме си [tex]\angle BAC=\alp ,\angle ABC=\be ,\angle ACC_1=\angle BCC_1=\gamma[/tex]. Тогава от [tex]\Del IHC\Right cos\gamma =\frac{IH}{IC}\Right IC=\frac{IH}{sin\gamma}[/tex] и от [tex]\Del C_1PI\Right \angle IC_1P=\alp +\gamma \Right \angle C_1IP=90^\circ-(\alp +\gamma )=\be +\gamma -90^\circ\\cos\angle C_1IP=\frac{IP}{C_1I}\Right IC_1=\frac{IP}{cos\angle C_1IP}[/tex].
Сега образуваме търсеното отношение:
[tex]\frac{IC}{IC_1}=\frac{\frac{\cancel {\overbrace{IH}^{r}}}{sin\gamma}}{\frac{\cancel {IP=r}}{cos(90^\circ -(\be +\gamma ))}}=\frac{sin(\be +\gamma)}{sin\gamma}=\frac{\sin\be\cos\gam +\cos\be\sin\gamma}{sin\gamma}=\frac{sin\be 2cos^2\gamma}{2sin\gamma\cos\gamma}+cos\be=\frac{sin\be (1+cos2\gamma)}{sin2\gamma}+cos\be=\frac{sin\be\cos2\gamma}{sin2\gamma} +\frac{sin\be}{sin2\gamma}+cos\be[/tex]

Сега използвайки синусова и косинусова теорема изразяваме страните по следния начин:

[tex]\frac{b}{sin\be}=\frac{c}{sin2\gamma}\Right \frac{sin\be}{sin2\gamma}=\frac{b}{c}\\cos2\gamma =\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\\cos\be =\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}[/tex]

И като заместим в гореполученото получаваме:

[tex]\frac{IC}{IC_1}=\frac{sin\be\cos2\gamma}{sin2\gamma} +\frac{sin\be}{sin2\gamma}+cos\be=\frac{\cancel b}{c}*\frac{a^2+b^2-c^2}{2a\cancel b}+\frac{b}{c}+\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{a}{2c}+\cancel {\frac{b^2}{2ac}-\frac{c}{2a}}+\frac{b}{c}+\frac{a}{2c}\cancel {+\frac{c}{2a}-\frac{b^2}{2ac}}=\frac{\cancel 2a}{\cancel 2c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}[/tex] Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Thu Jun 26, 2008 9:47 am    Заглавие:

Зад. 1., а)

[tex]S=\frac{ah_{a}}{2}=\frac{bh_{b}}{2}=\frac{ch_{c}}{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow h_{a}=\frac{2S}{a}, h_{b}=\frac{2S}{b}, h_{c}=\frac{2S}{c}[/tex]
[tex]S=pr \Rightarrow r=\frac{S}{p}[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{p}{S}=\frac{a}{2S}+\frac{b}{2S}+\frac{c}{2S} \Leftrightarrow \frac{p}{\cancel {S}}=\frac{a+b+c}{2 \cancel {S}} \Leftrightarrow p=\frac{a+b+c}{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] даденото равенство е тъждество
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Pinetop Smith
Фен на форума


Регистриран на: 12 May 2007
Мнения: 961
Местожителство: Хасково
Репутация: 153.6Репутация: 153.6
гласове: 87

МнениеПуснато на: Thu Jun 26, 2008 10:18 am    Заглавие:

2 a)
Тр. АВС.
CL - ъглополовяща.

АL = bc/(a+b)
BL = ca/(a+b)

Прилагаме Т. на Стюарт и след малко сметки, отговорът излиза.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
nikolavp
Фен на форума


Регистриран на: 20 Apr 2008
Мнения: 701

Репутация: 63.6
гласове: 13

МнениеПуснато на: Thu Jun 26, 2008 10:41 am    Заглавие:

Николай.Каракехайов написа:
2 a)
Тр. АВС.
CL - ъглополовяща.

АL = bc/(a+b)
BL = ca/(a+b)

Прилагаме Т. на Стюарт и след малко сметки, отговорът излиза.
Може ли да цитирате теоремата на Стюарт, че ми стана интересно Laughing Laughing


P.S. Това ли е? http://planetmath.org/encyclopedia/StewartsTheorem.html
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Pinetop Smith
Фен на форума


Регистриран на: 12 May 2007
Мнения: 961
Местожителство: Хасково
Репутация: 153.6Репутация: 153.6
гласове: 87

МнениеПуснато на: Thu Jun 26, 2008 10:51 am    Заглавие:

Да
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Thu Jun 26, 2008 10:52 am    Заглавие:

nikolavp написа:
P.S. Това ли е? http://planetmath.org/encyclopedia/StewartsTheorem.html

Да, това е Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Триъгълници Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.