Моля, докажете следното равенство :

[Relinquishmentor]

a.b = x₁x₂ + y₁y₂ + z<sub>1z2

а и b са вектори, а x, y и z са техните координати. В учебника по Висша математика беше постулативно зададено, но аз не мога да го приема без доказателство .</sub>

[Реклама]

[Relinquishmentor]

[quote="Relinquishmentor"]a.b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂

Леко объркване на sub-овете

[Infernum]

Aкo a и b са тримерни вектори, в декартова координатна система, тези вектори имат представянето:
а=x₁i+y₁j+z₁k;
b=x₂i+y₂j+z₂k;
където i, j, k са ти единичните базисни вектори.
Нека * означава скаларно произведение.
Тогава за скаларното произведение на векторите а и b имаш:
a*b = (x₁i+y₁j+z₁k)*(x₂i+y₂j+z₂k)=
= x₁x₂(i*i)+x₁y₂(i*j)+x₁z₂(i*k)+y₁x₂(j*i)+y₁y₂(j*j)+y₁z₂(j*k)+z₁x₂(k*i)+z₁y₂(k*j)+z₁z₂(k*k)=
Имайки предвид, че направленията на осите на декартовата координатна система се определят от единичните и ортогонални вектори i, j, k, в сила са равенствата:
(i*i)=(j*j)=(k*k)=1
и
(i*j)=(j*i)=(j*k)=(k*j)=(i*k)=(k*i)=0
Тогава:
a*b=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂

[Relinquishmentor]

Infernun, благодаря много, макар, че вчера успях да го докажа по-доста по-прозаично-геометричен начин. Предполагам, че може да представлява интерес за вас:

[Relinquishmentor]

Обаче достигам до формулата за векторно произведение и ако подходим по метода с ортогоналните вектори i, j и k, не се получава резултата, зададен отново постулативно чрез някаква таблица (матрица, детерминанта?). А геометричният метод, поне този, който използвам се оказа толкова тежък от към изчисления, че на практика е нерешим без подходяща програма. Тогава ?

[Infernum]

Ти нали питаш за скаларно произведение.
Това, което съм ти написал за ортогоналните вектори важи за n-мерна ортогонална координатна система. А тогава геометричния метод зацикля.

[Relinquishmentor]

[Infernum]

Ми за векторно произведение имаш същата работа:
В тримерна декартова координатна система, определена от направленията на единичните и ортогонални вектори i, j, k, образуващи дясна тройка, векторите a и b се представят по следния начин:
a=x₁*i+y₁*j+z₁*k
b=x₂*i+y₂*j+z₂*k
За векторното произведение на тези 2 вектора имаш:
a x b = (x₁*i+y₁*j+z₁*k) x (x₂*i+y₂*j+z₂*k)
Имайки предвид дистрибутивния закон за векторното произведение, получаваш:
a x b = x₁x₂(i x i)+x₁y₂(i x j)+x₁z₂(i x k)+y₁x₂(j x i)+y₁y₂(j x j)+y₁z₂(j x k)+z₁x₂(k x i)+z₁y₂(k x j)+z₁z₂(k x k)
Сега имайки предвид, че векторите i, j и k са единични, ортогонални и образуват дясна тройка, в сила са следните съотношения:
(i x i) = (j x j) = (k x k) = 0
Oтчитайки още антикомутативността на векторното произведение имаш:
(i x j) = k
(j x i) = -k
(j x k) = i
(k x j) = -i
(k x i) = j
(i x k) = -j
Заместавйки тези векторни произведения по-горе получаваш:
a x b = x₁y₂*k+x₁z₂*(-j)+y₁x₂*(-k)+y₁z₂*i+z₁x₂*j+z₁y₂*(-i) = (y₁z₂-z₁y₂)*i-(x₁z₂-z₁x₂)*j+(x₁y₂-y₁x₂)*k
Та това е.
Сега сигурно ще питаш и за смесеното произведение, а??