система

[lazarkina]

Не мога да реша системата:

X²+Y²=5 и X²+Y²-x.y=3

[Реклама]

[g_kulekov]

С изваждане на двете уравнение се получава x.y=2
И сега вече малка хватка: към първото уравнение добавяме отляво и отдясно 2xy, за да се получи в лявата страна точен квадрат. А xy в дясната страна го заместваме с току що намерената стойност на това произведение:
(x+y)²=9

Сега вече получаваме две системи:
първата:
x+y=3
xy=2

и втората:
x+y=-3
xy=2

Общо решенията са четири - по две за всяка система: (1,2), (2,1), (-1,-2), (-2,-1)

[lazarkina]

Моля да ме извините, но не разбирам, как трябва да стане това добавяне отляво и отдясно на 2xy

[ObsCure]

[tex]x_^{2}+y_^{2}=5[/tex]

[tex]x_^{2}+2xy-2xy+y_^{2}=5[/tex]

[tex](x+y)_^{2}-2xy=5[/tex]

Сега и другото уравнение по същият начин и получаваме

[tex](x+y)_^{2}-3xy=3[/tex] /.(-1)

Събираме ги

[tex](x+y)_^{2}-2xy-(x+y)_^{2}+3xy=5-3[/tex]

[tex]xy=2[/tex]

Заместваме в едно от 2-те уравнения

[tex](x+y)_^{2}-2xy=5 <=> (x+y)_^{2}-2.2=5 => (x+y)_^{2}=9 => x+y=\pm3[/tex]

И оттук както G_kulekov е описал.

[lazarkina]

Къде бъркам?

системата:
x+y=3 => x=3-y
xy=2

x=3-y
3-y.y=2 <=> 3-y=2
3-y-2=0
a=3
b=-1
c=-2
Д=b²-4ac
Д=(-1)²-4.3.(-2)=1-12.(-2)=1+24=25
y1=1+√5²/2.3=1+5/6=6/6=1
y2=1-√5²/2.3=1-5/6=-4/6=?

[ObsCure]

Никъде не бъркаш.Замести с

[tex]y=-\frac{2}{3}=-\frac{4}{6}[/tex]

и ще видиш,че това не е решение.

[nikolavp]

[tex]x+y=3 \\ x.y=2[/tex] =>(от формулите на Виет) x и y удовлетворяват корението на уравнението [tex]t^2-3t+2=0\\ t_{1,2}=1;2[/tex]
Оттук ловиш двете наредени двойки (1;2),(2;1).

[lazarkina]

В 11 клас съм, но повярвайте ми, от вас чувам за формулите на Виет. Признавам, че нашето обучение не е на ниво, но наистина се старая.

[garion]

[lazarkina]

Благодаря за забележката. А, ще ви бъде ли удобно да ми помогнете за тази система?

x+y= -3 <=> x=-3-y
xy=2

[Пафнутий]

[tex]x+y=-3\Rightarrow x=-(3+y)[/tex]
[tex]xy=2[/tex]
[tex](3+y)y=2 \rightarrow 3y+y^2-2=0\Rightarrow y_{1}=-1, y_{2}=\frac{2}{3}[/tex] След проверка само [tex]y=-1[/tex] изпълнява условията Но [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] участват симетрично значи наредените двойки са [tex](-1;-2), (-2;-1)[/tex]

[nikolavp]

[garion]

ами тя е същата като другата само с един сменен знак
х=-3-у
ху=2
(-3-у)у=2 / .(-1)
(3+у)у=-2
у²+3у+2=0
това уравнение има корени -1 и -2 и за тези 2 решение намираш съответните х

[Пафнутий]

Ето и доказателството на теоремата на Виет Имаме [tex]f(x)=ax^2+bx+c [/tex], тогава за [tex]x[/tex], за които [tex]f(x)=0[/tex] имаме[tex]x_{1}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}, x_{2}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}[/tex] Тогава [tex]x_{1}+x_{2}=\frac{-b+\sqrt{D}-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}[/tex] А пък [tex]x_{1}.x_{2}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}.\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{(b-\sqrt{D})(b+\sqrt{D})}{4a^2}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}[/tex]

[lazarkina]

БЛАГОДАРЯ НА ВСИЧКИ! БЕЗ ВАС НЯМАШЕ ДА СЕ СПРАВЯ.